PROJETO PRÉ TÉCNICO

Olá alunos da E. M. Paulo Vanzolini,
A partir da próxima semana iniciaremos nossa Turma Especial Interativa com os alunos selecionados em cada turma, segundo rendimento nos testes e provas bimestrais. Essa turma visa a preparação dos alunos do 8º ano para os concursos para as Escolas Técnicas no ano de 2016. Os alunos do 9º ano também estão convidados e deverão entrar em contato por aqui ou facebook para adesão. Faremos listas de exercícios semanais sobre os conteúdos dados na semana e direcionados para as provas dos concursos. Haverá um encontro quinzenal para correção das listas e solução das dúvidas. A permanência do aluno no grupo estará condicionada à manutenção de sua média entre as cinco maiores da classe, portanto o grupo poderá ser transitório. As listas serão disponibilizadas aqui no blog e no facebook através de postagens direcionadas ao grupo.
Brasil!

UERJ: 1ª FASE DE MATEMÁTICA 2014 CORRIGIDA E COMENTADA

Segue a resolução comentada da 1ª fase da UERJ.

Solução: Trata-se de uma questão de Progressão Aritmética de razão r = 3, ou seja, r = 9/3.

Sendo a₅  = 37/3 ,então

a₆ = a₅ + 9/3 =  37/3 + 9/3  =  46/3

a₇ = a₆ + 9/3 = 46/3 + 9/3 = 55/3

a₈ = a₇ + 9/3 = 55/3+ 9/3 =  64/3

a₉ = a₈ +  9/3 = 64/3+ 9/3 = 73/3 

A soma dos quatro últimos termos será: S = a_7 + a_8 + a_9 + 82/3 = (55 + 64 + 73 + 82 )/ 3 = 274/ 3

A média aritmética entre quatro números é a soma desses números dividida por 4. Logo:

M = 274/3 : 4 = 274 /12 = 137 / 6

Resp. B

23) Observe a função f, definida por: f (x) = x² -  2kx + 29, para x ∈ IR

Se f (x) ≥ 4, para todo número real x, o valor mínimo da função f é 4.

Assim, o valor positivo do parâmetro k é:

(A) 5

(B) 6

(C) 10

(D) 15

Solução: Se o valor mínimo da função é 4, então:

Y_v = - ∆/ 4a = 4 .: - ∆ = 16

- ∆ = - [(- 2k)² - 4. 29] = - [ 4k² - 116] = - 4k² + 116

- 4k² + 116 = 16

- 4k² = - 100

k² = 25

k = ± 5

O valor positivo de k é 5.

Resp. A

24) Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, têm a forma de dodecaedros regulares. Se

os dodecaedros estão justapostos por uma de suas faces, que coincidem perfeitamente, formam

um poliedro côncavo, conforme ilustra a figura.

Considere o número de vértices V, de faces F e de arestas A desse poliedro côncavo.

A soma V + F + A é igual a:

(A) 102    (B) 106     (C) 110    (D) 112

Solução:

Vamos primeiramente calcular o número de vértices do icosaedro através da Relação de Euler: V + F = A + 2

Temos 12 faces, F = 12

Temos 12x 5/ 2 = 30 arestas, logo

V + F = A + 2

V + 12 = 30 + 2

V = 20

Vamos agora analisar o poliedro formado. Percebemos que uma face do poliedro azul está sobreposta à face do poliedro vermelho. então:

A = 30 + 30 - 5 = 55

V = 20 + 20 - 5 = 35

F = 12 + 12 - 2 = 22

A + V + F = 112

Resp. D

Solução:

De acordo com a propriedade fundamental do logaritmo, E = 10^15,3

Como 15,3 < 15,5, então 10^15,3 ≡ 10¹⁵

^{Resp. B}

^{A medida, em grau, do menor ângulo ACB corresponde a}

^{a) 45    b) 60   c) 75    d) 105}

^Solução:

^{Vamos considerar a figura acima redesenhada. Sendo AF = 16 m e DF= CH = 11 m, então AD = AF - DF = 5 m. Como AC é raio, então AC = 10m. Logo, o triângulo ADC é egípcio e o ângulo oposto ao menor cateto, 5 m, igual a 30º.}

^{Considerando agora o triângulo retângulo CEB, EB = 11 - 3,95 = 7,05. Chamamos o ângulo oposto ao cateto EB de x, logo sen x = 7,05/ 10 = 0,705, ou seja, x é aproximadamente 45º. Portanto o ângulo ACB = 30º + 45º = 75º}

^{Resp. C}

²⁷⁾ Um índice de inflação de 25% em um determinado período de tempo indica que, em média, os

preços aumentaram 25% nesse período. Um trabalhador que antes podia comprar uma

quantidade X de produtos, com a inflação e sem aumento salarial, só poderá comprar agora

uma quantidade Y dos mesmos produtos, sendo Y < X.

Com a inflação de 25%, a perda do poder de compra desse trabalhador é de:

(A) 20%    (B) 30%    (C) 50%     (D) 80% 

Solução: Inflação e poder de compra são grandezas inversamente proporcionais.
Inflação          Poder de compra (Inverte)
100%                      100%
125%                        x

125/100 = 100/ x
125x = 10000
x = 80
Portanto a perda será de 20%.

Resp. A (Corrigido)

Solução: O número de possibilidades de 6 entre 9 lâmpadas estarem apagadas será C_9,6.  Para as três lâmpadas acesas podemos combinar C_3,2 . Teríamos portanto C_9,6.C_3,2 possibilidades com 6 lâmpadas apagadas, duas acesas de uma cor e uma de outra. Como são duas situações possíveis, teremos 2.C_9,6.C_{3,2 =} 504
Uma vez que cada possibilidades acontece a cada segundo, serão necessários 504 s para todas as possibilidades ocorrerem.
504 s = 8 min 24 s
Resp. B

29) Em um sistema de codificação, AB representa os algarismos do dia do nascimento de uma
pessoa e CD os algarismos de seu mês de nascimento. Nesse sistema, a data trinta de julho, por
exemplo, corresponderia a:
A = 3    B = 0     C = 0    D = 7
Admita uma pessoa cuja data de nascimento obedeça à seguinte condição:
A + B + C + D = 20
O mês de nascimento dessa pessoa é:
(A) agosto
(B) setembro
(C) outubro
(D) novembro

Solução: Se A e B representam o dia, então a maior soma será 2 + 9 = 11. C e D representam o mês, logo a maior soma será 0 + 9 = 9.
Como A + B + C + D = 20, então a soma deverá ser a maior possível. Portanto o mês será 09, ou seja, setembro.
Resp. B

ORIGAMI E MATEMÁTICA: A LENDA DO PÁSSARO TSURU

O origami é uma arte japonesa de dobradura com papel conhecida no mundo todo.  Um origami muito conhecido é o tsuru Grou – Cegonha, ave sagrada e popular do Japão, que  simboliza saúde, fortuna, boa sorte e felicidade. Costuma-se dizer que esta ave é o símbolo da longevidade.

Segundo a lenda do Tsuru na cultura japonesa, a pessoa que fizer mil dobraduras desse pássaro, fixando o pensamento em um pedido, terá seu desejo realizado. Quando oferecido como presente, significa votos de saúde e prosperidade.

Tsuru e o Dia da Paz

Em 1945, depois da explosão da bomba de Hiroshima, surgiram várias doenças no Japão, entre os sobreviventes da guerra. A pequena Sadako, com 12 anos de idade, foi diagnosticada com Leucemia.

Em tratamento no hospital recebeu de um amigo, vários papéis coloridos para que ela fizesse 1000 origamis do tsuru, junto com o pedido de cura. Como a doença se agravava a cada dia, Sadako começou a pedir pela paz mundial.  Mas, no dia 25 de outubro de 1955, ao completar 964 tsurus, ela faleceu.

Os amigos completaram os 1000 tsurus e iniciaram uma campanha para arrecadar dinheiro para construir um monumento pela paz. Em 1958 o monumento foi inaugurado, no Parque da Paz de Hiroshima. Todos os anos, no dia 6 de agosto, dia do bombardeio, se faz uma cerimônia no parque, pela paz e para lembrar as vítimas de Hiroshima.

CONTEÚDOS MATEMÁTICOS TRABALHADOS NA CONSTRUÇÃO

 Mais detalhes da construção no vídeo: 

ATIVIDADES:

1) Após os dois primeiros passos temos um quadrado dividido em quatro partes iguais por suas diagonais. Confirme o número de diagonais através da fórmula D= n.(n-3)/ 2

2) Quais as quatro figuras formadas pelas diagonais? Classifique em triângulos equiláteros, triângulos isósceles ou triângulos escalenos.
3) Quais as medidas de seus ângulos?
4) Qual a fração que cada figura representa do inteiro?
5) Quais os ângulos formados pelas diagonais do quadrado?
6) Após os 3º e 4º passos, nos quais unimos os pontos médios (metade) dos lados do quadrado, o quadrado ficou dividido em quantas partes?
7) Qual a fração que representa cada uma dessas partes?