POTENCIAÇÃO / CÓDIGO BINÁRIO

O Sistema Binário é um sistema de numeração de base 2, ou seja, admite apenas os algarismos 0 (zero) e 1 (um). Só existem duas possibilidades, sempre opostas: ligado ou desligado, certo ou errado, verdadeiro ou falso, ...
Os microprocessadores identificam apenas sinais elétricos e os distingue em dois níveis de voltagem:  

•  alto, "high", H , correspondente a tensão elétrica alta, e 
•  baixo, "low", L, tensão elétrica baixa 

Portanto, qualquer comunicação com o microprocessador pode ser reduzida apenas a dois sinais, associando-se H com o bit 1 e o L com o bit 0.

Nos números binários cada bit guarda o valor das potências crescentes de 2.

Lembrando:

Definição: Potenciação é o mesmo que multiplicar um número (base) por ele mesmo n vezes, onde n é o expoente. 

Exemplo:

5² (leia-se "cinco elevado ao quadrado", ou "cinco elevado à segunda potência" ou ainda "cinco elevado à dois").

No exemplo, precisamos multiplicar o 5 por ele mesmo. Ficando: 5.5 = 25.

Então 3³ = 3 . 3 . 3 = 3 . 9 = 27

Algumas outras definições que podem ser utilizadas:

a¹ = a

( Todo número elevado a primeira potência é igual a ele mesmo).

a⁰ = 1, a ≠ 0

( Todo número elevado a zero é igual a unidade (1 ou um)).

Propriedades

1 - Multiplicação de potências de bases iguais = mantenha a base e some os expoentes:

aⁿ . a^m = a^n+m

2 - Divisão de potências de bases iguais - mantenha a base e subtraia os expoentes:

(aⁿ) / (a^m) = a^n-m , "a" diferente de zero.

3 - Potência de potência = mantenha a base e multiplique os expoentes:

(a^m)ⁿ = a^{m . n}

Observação:

As potências abaixo NÃO são iguais:

(a^m)ⁿ ≠ a^mn

na primeira, resolvemos o que está entre parênteses primeiro, já na segunda, nós devemos elevar m à n, e depois elevar a ao resultado da operação anterior.

4 - (a . b)ⁿ = aⁿ . bⁿ

5 - (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ , "b" diferente de zero.

Potenciação com números negativos

Observe os exemplos abaixo:

(-3)² = 9
-3² = - 9

O sinal de negativo ( - ) na frente do três, só fará parte da potenciação quando estiver dentro de um parêntese, caso contrário, ele se mantém no resultado.

Como no primeiro exemplo o expoente é 2, número par, então o resultado do 3 ao final se transforma em positivo. Se fosse ímpar, o resultado seria negativo:
(- 3)³ = (- 3) . (- 3) . (- 3) = 9 . (- 3) = - 27

se tirarmos os parênteses

- 3³ = - 3 . 3 . 3 = - 9 . 3 = - 27

Voltando ao sistema binário ... como descobrir então qual o valor em decimal do número 1010 ?

1	0	1	0
( 1 * 23 )	+ ( 0 * 22 )	+ ( 1 * 21)	+ ( 0 * 20 )
8	0	2	0
= 8 + 0 + 2 + 0  =  10

Os computadores são programados para armazenar informações em grupos de bits chamados bytes. Byte é uma palavra formada por bit  e "eigth" que significa 8 (oito) em inglês. Portanto, 1 byte = 8 bits. O byte designa unidade de infirmação formada por oito bits e usada como medida de tamanho de memória.

Um byte pode representar até 255 valores diferentes, ou seja, seria  maior combinação de oito bits:

11111111 = 255, pois 1x2⁷ + 1x2⁶ + 1x2⁵ + 1x2⁴ + 1x2⁴ + 1x2³ + 1x2² + 1x2¹ + 1x2⁰ = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255

Quando os primeiros computadores foram criados, verificou-se a necessidade de 250 códigos diferentes para se representar distintamente todos as possibilidades de letras (maiúscula e minúscula), números, símbolos, etc. Então, cada caracter diferente recebeu um valor. O A, por exemplo, recebeu o 65.

potência	27	26	25	24	23	22	21	20
valor	128	64	32	16	8	4	2	1
código	0	1	0	0	0	0	0	1

Portanto:

Valor	Código binário
A = 65	01000001

Observação: Percebemos alguns conceitos de potências mencionados acima, são eles:

2ⁿ = 2 x 2 x 2 x ... x 2 = C

            n vezes

a¹ = a

( Todo número elevado a primeira potência é igual a ele mesmo).

a⁰ = 1, a ≠ 0

( Todo número elevado a zero é igual a unidade (1 ou um)).

Assim o A maiúsculo que é representado pelo 65, na linguagem de máquina se transforma em 01000001, ou seja, ( 64+ 1) sempre lendo da esquerda para a direita.

Portanto, quando pressionamos a letra A maiúscula no teclado, o que é enviado para o processador é o código binário do 65, ou seja, 01000001.

As outras letras, os números, acentos e vários outros sinais são gerados de maneira idêntica, resultando em uma tabela denominada Código ASCII, que é o código mais usado na comunicação de diferentes tipos de fabricantes.

ATIVIDADES

1) João digitou uma carta para sua namorada e, no fim, escreveu uma palavra, em letras maiúsculas, que o computador entendeu no seguinte código: 01000001 01001101 01001111 01010010 00001101 00001010 .
a) Qual foi a palavra digitada?
b) Qual o somatório de todas as letras, quando transferimos para o sistema decimal?

2) Como o processador entende a palavra "Vida" segundo o código binário?

SIMULADO 14/03 - EsPCEx/ CN

Um provedor de acesso à internet oferece dois planos para os assinantes:

Plano A - Assinatura mensal de R$ 8,00, mais R$ 0,03 por cada minuto de conexão durante o mês.

Plano B - Assinatura mensal de R$ 10,00, mais R$ 0,02 por cada minuto de conexão durante o mês.

Acima de quantos minutos de conexão por mês é mais econômico optar pelo Plano B.

a) 160   b) 180  c) 200  d) 220  e) 240

Solução:

Para o plano A temos a seguinte equação: y = 8 + 0,03x e para o plano B: y = 10 + 0,02x

O plano B será mais econômico que o A quando 10 + 0,02x ˂ 8 + 0,03x logo temos:

10 + 0,02x ˂ 8 + 0,03x

2 ˂ 0,01x

x ˃ 200

Resp: C

Uma  empresa  de  Telefonia  Móvel  cobra  de  seus clientes R$ 0,20 por minuto, para ligações entre telefones habilitados por ela e R$ 0,30 por minuto, para ligações entre telefones habilitados por ela e outras operadoras. Um cliente dessa empresa pagou R$ 24,00 referente a

100  minutos  de  ligações  efetuada  nos  dois  modos.  O número de minutos que esse cliente utilizou, ligando para telefone de outras operadoras é:

a) 15   b) 30  c) 40   d) 88   e) 60

Solução:

Temos 0,2x + 0,3y = 24 e x + y = 100.

0,2x + 0,3y = 24    x (-5)

x + y = 100

-x -1,5y = -120

-0,5y = -20

y = 40

x = 60

Resp: C

Sejam C = {complexos}; Q = {racionais}; IR = {reais};  Z = {inteiros}; IN = {naturais}. Define-se ainda:

•  {r} = IR ∩C;

•  {s} = (IN ∩Z) ∪Q;

•  {t} = IN ∪(Z ∩Q) e

•  {u} = (Q ∩IR) ∪(IR – Q).

Então, {r} ∩{s} ∩{t}  ∩{u} é:

a)IR  b)Z  c)C  d)Q  e)IN

Solução:

IR ∩C = IR, logo {r} = IR

(IN ∩Z) ∪Q = Q, logo {s} = Q

IN ∪ (Z ∩Q) = Z, logo  {t} = Z

(Q ∩IR) ∪(IR – Q) = IR, logo {u} = Z

Então {r} ∩{s} ∩{t}  ∩{u} = IR ∩ Q ∩ Z = Z

Resp: B

Seja a/b a fração geratriz da dízima 0,1222... com a e b primos entre si. Nestas condições, temos:

a)a^b= 990   b)ab = 900  c)a – b = 80  d) a + b = 110  e) b – a = 79

Solução:

a/b = 0,12222...

a/b = (12 - 1)/ 90

a/b = 11/ 90

b - a = 90 - 11

b - a = 79

Resp: E

Sejam  os  intervalos  reais  A  =  ]-∞,  1],  B  =  ]0,  2]  e  C = [-1, 1]. O intervalo C ∪(A ∩B) é:

a)]1; 1]  b)[-1; 1]  c)[0; 1]  d)]0; 1]  e)]-∞, -1]

Resp: B

Seja IN = {0, 1, 2, 3,...}. Se n ∈IN, qual das regras de  associação a seguir define uma função de IN em IN?

a)  n é associado a sua metade.

b)  n é associado a seu antecessor.

c)  n é associado ao resto de sua divisão por 7.

d)  n é associado a p tal que p é primo e p < n.

e)  n é associado a m tal que m é múltiplo de n.

Solução:

Para que tenhamos uma função definida de IN em IN, cada elemento do domínio (IN) deverá se corresponder com apenas um elemento do CD pertencente a IN. Logo

Resp: E

Sejam p e q inteiros positivos com p > q, e f uma função de f: IR+ →IR tal que f(x) = √x Nessas condições, o valor numérico de (p - q) / ( f(p) - f(q))   é igual a:

a)p.f(p) + q.f(q)

b)p.f(q) + q.f(p)

 c)f(p) + f(q) 

 d)f(p) – f(q)

e)f(p).f(q)

O gráfico a seguir:

a)  Representa uma função f: [a, b] →IR.

b)  Não  representa  uma  função  de  [a,  b]  em  IR  porque  existe  y  ∈ IR que não é imagem de qualquer x ∈[a, b].

c)  Não representa uma função de [a, b] em IR porque existe elemento x ∈[a, b] com mais de uma imagem.

d)  Representa uma função f: [a, b] →[p, d].

e)  nda

Solução:

Basta traçarmos uma reta vertical paralela ao eixo Y e perceberemos que essa reta seccionará o gráfico em mais de um ponto.

Resp: C

Considere a função de variável real f(x) = ax + b/x para x ≠0. f(2) = 5 e f(3) = 5, então a + b é igual a:

a)3  b)4  c)5  d)6  e)7

Solução:

f(2) = f(3) = 5

2a + b/2  = 5  x(2)

3a + b/3 = 5   x(3)

4a + b = 10    x(-1)

9a + b = 15

-4a - b = -10

5a = 5

a = 1

b = 6

a + b = 7

Resp: E

Observe o gráfico da função f:

a)  f assume o valor máximo em x = c

b)  f assume o valor mínimo em x ∈ {x ∈IR: d ≤x < e}

c)  o conjunto imagem de f é {y ∈IR: m < y ≤n}

d)  o domínio de f é {x ∈IR: a < x ≤e}

e)  f não está definida em x = a.

Solução:

Observando o gráfico, percebemos que seu valor mínimo está no intervalo [ d, e [

Resp: B

VESTIBULAR UERJ

O 1º EXAME DE QUALIFICAÇÃO DA UERJ já tem data para acontecer. A prova será realizada no dia 14/06/ 2015. O período para o pedido de isenção de taxa será de 11 a 13 de março. Já o período de inscrições será de 08/04 a 05/05.

O 2º  EXAME DE QUALIFICAÇÃO DA UERJ ocorrerá no dia 13/09. O período para o pedido de isenção de taxa será de 27 a 29 de maio. As inscrições poderão ser realizadas de 06/07 a 04/08.

O exame discursivo será realizado no dia 29/11, com inscrições de 22/09 a 08/ 10.

SIMULADO EsPCEx/ CN (07/3) - CORREÇÃO

Seguem as soluções das questões do simulado do último dia 07 de março da parte de Matemática.

45) Num grupo de 142 pessoas, foi feita uma pesquisa sobre três programas de televisão A, B  e C e constatou-se que:

          I.40 não assistem a nenhum dos três programas; 

        II.103 não assistem ao programa C;

     III. 25 só assistem ao programa B;

      IV.13 assistem aos programas A  e B;

        V. O número de pessoas que assistem somente aos programas B e C é a metade dos que assistem somente a A e B;

      VI.25 só assiste 2 programas;

   VII.72 só assistem a um dos programas ;

Pode- se concluir que o número de pessoas que assistem:

a)Ao programa A é 30.

b)Ao programa C é 39.

c)Aos três programas é 6.

d) Ao programa A e C é 13.

e) Ao programa A ou B é 63.

Solução:

Percebemos que o conjunto universo tem 142 elementos. Se 40 não fazem parte de nenhum dos três conjuntos, então

 n (AUBUC) = 142 - 40 = 102.

103 pessoas não assistem ao programa C. Dentre elas 40 não assistem a nenhum dos três. Logo 103 - 40 = 63 assistem APENAS aos programas A ou B, ou seja, n( AUB) - n(C) = 63

Sendo n( AUBUC) = 102 e n( AUB) - n(C) = 63, então n(C) = 102 - 63 = 39

Resp. C

46)Sejam os conjuntos A= { X ∈ Z| X= 6n + 3, n ∈ Z} e B={ X ∈ Z| X= 3n, n ∈ Z}, em que Z é o conjunto dos números inteiros. Então, A ∩ B é igual a:

a) { X ∈ Z| x é par e múltiplo de 3}

b) { X ∈ Z| x é ímpar e múltiplo de 3}

c) { X ∈ Z| x é múltiplo de 3}

d) { X ∈ Z| x é múltiplo de 6}

e) { X ∈ Z| x é impar}

Solução: 

A= { X ∈ Z| X= 6n + 3, n ∈ Z} - Esse conjunto é formado por múltiplos de 6 mais três unidades. Todos os múltiplos de 6 são pares e múltiplos de 3 também. Se somamos três unidades aos múltiplos de 3 pares, então temos nesse conjunto, múltiplos de 3 ímpares. 

B={ X ∈ Z| X= 3n, n ∈ Z} - Esse é o conjunto de todos os múltiplos de 3.

Portanto A C B e  A ∩ B = A

Resp. B

47) Sejam os conjuntos  A = {1, 3 , 4} , B= { 1,2,3} e X. Sabe-se que qualquer subconjunto de A∩B está contido em X, que, por sua vez, é subconjunto de A∪B. Quantos são os possíveis conjuntos X?

a) 3   b) 4   c) 5    d) 6    e) 7

Solução:

Se qualquer subconjunto de A∩B está contido em X, então A∩B C X. Se  X é subconjunto de A∪B, então X C A∪B.

Portanto, n (X) ≤ 2. X pode ter até 2² formas diferentes (número de subconjuntos)

Resp. B

48) Em uma classe de x alunos, o professor de matemática escreveu, no quadro de giz, um conjunto A de n elementos. A seguir, pediu que, por ordem de chamada, cada aluno fosse ao quadro e escrevesse um subconjunto de A, diferente dos que já foram escritos. Depois de cumprirem com a tarefa, o professor notou que ainda existiam subconjuntos que não haviam sido escritos pelos alunos. Passou a chamá-los novamente, até que o 18º aluno seria obrigado a repetir um dos subconjuntos já escritos. O valor mínimo de x, que atende às condições dadas, está entre:

a) 24 e 30

b) 29 e 35.  

c) 34 e 40. 

d) 39 e 45.   

e) 44 e 50.

Solução:

Sabemos que o número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é dado pela relação 2ⁿ 

^{Como na segunda rodada o 18º participou, então a turma possui, no mínimo, 18 alunos.}

^{Temos o seguinte, portanto:}

^{x + 17 =} 2ⁿ 

^{x + 17 deve ser uma potência de 2, onde x é maior que 18.}

^{A menor possibilidade para x é x + 17 = 64; x = 47}

^{Resp. E}

49) Anulada

50) Na  Bienal  do  Livro  realizada  no  Riocentro,  Rio  de Janeiro,  os  livros  A,  B  e  C  de  um  determinado  autor apresentaram os seguintes  percentuais de vendas aos leitores:
• 48% compraram o livro A;
• 45% compraram o livro B;
• 50% compraram o livro C;
• 18% compraram os livros A e B;
• 25% compraram os livros B e C;
• 15% compraram os livros A e C;
• 5% não compraram nenhum dos livros.
Qual o percentual de leitores que compraram um, apenas um,dos três livros?
a) 10%  b) 18%  c)  29%  d)  38%  e)  57%

Solução:

Trata-se de uma questão clássica envolvendo três conjuntos. Devemos aplicar a fórmula:
n(AUBUC) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A∩B) - n (A∩C) - n (B∩C) + n (A∩B∩C)

Se considerarmos o total de leitores igual a 100, teremos:
95 = 48 + 45 + 50  18 - 25 - 15 + x
x = 10

Logo 10% dos eleitores compraram os três.
Resp. A

51 )Denotemos  por  n(X)  o  número  de  elementos  de  um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos, tais que 
n (A∪B) = 8, n (A ∪C) = 9, n (B ∪C) = 10, n (A ∪B ∪C) = 11 e n (A ∩B ∩C) = 2. Então, n (A) + n (B) + n (C) é igual a:
a)  11   b)  14  c)  15   d)  18   e)  25 

Solução:

Novamente aplicação direta da fórmula: n(AUBUC) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A∩B) - n (A∩C) - n (B∩C) + n (A∩B∩C)

n (AUB) = n (A) + n (B) - n (A∩B)
n (AUC) = n (A) + n (C) - n (A∩C)
n (BUC) = n (B) + n (C) - n (B∩C)
__________________________________ +
n (AUB) + n (AUC) + n (BUC) = 2[ n (A) + n (B) + n (C)] - [ n (A∩B) + n (A∩C) + n (B∩C)]
- [ n (A∩B) + n (A∩C) + n (B∩C)] = n (AUB) + n (AUC) + n (BUC) - 2[ n (A) + n (B) + n (C)]

Substituindo na relação principal, temos:

 n(AUBUC) = n (A) + n (B) + n (C) + n (AUB) + n (AUC) + n (BUC) - 2[ n (A) + n (B) + n (C)] + n (A∩B∩C) 
n (A) + n (B) + n (C) = n (AUB) + n (AUC) + n (BUC) - n(AUBUC) +  n (A∩B∩C)

n (A) + n (B) + n (C) = 8 + 9 + 10 - 11 + 2 = 18

Resp.  D

52) Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo U = {a, b, c, d, e, f, g, h}. Sabendo que (B^cU A)^c= {f, g, h},B^c ∩A = {a,b} e A^c \ B = {d,e}, então, n(P(A∩B)) é igual a:

a) 0   b)1     c)2    d)4     e) 8

Solução:

Pelas leis de Morgan temos:

(A∩B)^c = A^c U B^c

(AUB)^c = A^c ∩B^c

Logo: (B^cU A)^c = B ∩ A^c = {f, g, h}

B^c∩A = {a, b}

A^c/ B = A^c – B = {d, e}

Portanto,

A = {a,b,c}

B = {c, f,g, h}

A∩B = {c}

n (P(A∩B)) = 2¹ = 2

Resp. C

53) Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, ambos finitos e não-vazios,  tais  que n(P(A)∪P(B)) + 1 = n(P(A∪B)).  Então,  a diferença n(A) - n(B) pode assumir:

a) Um único valor.

b) Apenas dois valores distintos 

c) Apenas três valores distintos 

d) Apenas quatro valores distintos.

e) Mais do que quatro valores distintos

Solução:

Se A e B são disjuntos, então A∩B = {  } e n(AUB) = n(A) + n(B)

Considerando n(A) = m e n(B) = n, 
temos que n(P(A)) = 2^m  e n(P(B)) = 2ⁿ
 e n(P(A∪B)) = 2^{m + n}

como  n(P(A)∪P(B)) = n(P(A)) + n(P(B)) - 1 = 2^m  + 2ⁿ - 1


Substituindo:
 n(P(A)∪P(B)) + 1 = n(P(A∪B))
2^m  + 2ⁿ - 1 +1 = 2^{m + n}

2^m  + 2ⁿ = 2^{m n}

Dividindo a equação por 2^{m n}

Temos:
1/ 2ⁿ    +  1/2^m  = 1
 Sendo m e n números naturais, m = 1 e n = 1

Resp. A

54) Dados os conjuntos numéricos A = {x ∈IR: -1  ≤ x ˂ 3} e B = {x ∈IR: 2 ˂ x ≤ 6} assinale a alternativa correta.  

a) A ∪B = {x ∈IR: -1 ˂ x˂ 6} 

b) A – B = {x ∈IR: -1 ≤ x ˂ 2} 

c) B – A = {x ∈IR: 3 ≤ x ≤ 6}  

d) A∩B = {x ∈IR: 2 ≤ x ≤ 3}

e) AUB = {x ∈IR: 2 ≤ x ≤ 3}

Solução:

Questão de intervalos numéricos.

Temos então:

AUB = {x ∈IR: -1 ≤ x ≤ 6}  

A∩B = {x ∈IR: 2 ˂  x ˂ 3}

A - B = {x ∈IR: -1 ≤ x  ≤ 2}

B - A = {x ∈IR: 3 ≤ x ≤ 6}  

Resp. C

TESTE DE INTELIGÊNCIA MATEMÁTICA

Descubra o padrão e encontre o número!

6 # 3 = 90903
7 # 4 = 161103
8 # 6 = 361402
9 # 5 =      ?

PROJETO "DE ONDE VEIO O π ?"

Com o objetivo de estimular a pesquisa e apresentar aos alunos do 9º ano a história do número irracional π (pi) desenvolvemos o projeto "De onde veio o π?" para a apresentação na Feira Cultura da E. M. Gastão Rangel. O trabalho foi desenvolvido pelas turmas 1901 e 1903. As turmas foram divididas em três grupos, de acordo com organização dos próprios alunos. Um grupo desenvolveu a pesquisa teórica sobre o número irracional π, o segundo grupo desenvolveu um roteiro de peça teatral com o auxílio do de português e o terceiro grupo encenou a peça com a ajuda do professor de artes. Parabéns a todos os alunos participantes pelo belo trabalho realizado. Boas férias a todos!

Apresentação do trabalho da 1901 pela aluna Linda

Sucesso de público

A turma 1901 encenou uma aula de matemática! Muito bom!

A turma 1903 optou por uma narração dos fatos históricos. Show de bola!

Encerramento do trabalho da turma 1903

Troca de cenário pela turma 1901

CONCURSO FAETEC 2015

Do dia 13 de outubro ao dia 15 de novembro estarão abertas as inscrições para o concurso de admissão ao FAETEC. Os alunos que sempre estudaram na rede municipal poderão realizar o pedido de isenção de taxa através do site: www.faetec.rj.gov.br do dia 13 de outubro ao dia 20 de outubro. Para os demais alunos, a taxa de inscrição custa R$ 35,00. A prova será realizada no dia 07 de dezembro no período de 15:00 às 19:00h.
Em breve estarei postando a última prova de Matemática corrigida e comentada.