PORTAL MultiRio: NOSSO TRABALHO EM DESTAQUE

Olá pessoal,
Nosso blog, mais uma vez ganhou destaque e fomos mencionados na interessante matéria da jornalista Fernanda Fernandes do Portal MultiRio. Vale a pena conferir!
Segue o link:  http://www.multirio.rj.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=1631&Itemid=344 

PROJETO PRÉ TÉCNICO

Olá alunos da E. M. Paulo Vanzolini,
A partir da próxima semana iniciaremos nossa Turma Especial Interativa com os alunos selecionados em cada turma, segundo rendimento nos testes e provas bimestrais. Essa turma visa a preparação dos alunos do 8º ano para os concursos para as Escolas Técnicas no ano de 2016. Os alunos do 9º ano também estão convidados e deverão entrar em contato por aqui ou facebook para adesão. Faremos listas de exercícios semanais sobre os conteúdos dados na semana e direcionados para as provas dos concursos. Haverá um encontro quinzenal para correção das listas e solução das dúvidas. A permanência do aluno no grupo estará condicionada à manutenção de sua média entre as cinco maiores da classe, portanto o grupo poderá ser transitório. As listas serão disponibilizadas aqui no blog e no facebook através de postagens direcionadas ao grupo.
Brasil!

UERJ: 1ª FASE DE MATEMÁTICA 2014 CORRIGIDA E COMENTADA

Segue a resolução comentada da 1ª fase da UERJ.

Solução: Trata-se de uma questão de Progressão Aritmética de razão r = 3, ou seja, r = 9/3.

Sendo a₅  = 37/3 ,então

a₆ = a₅ + 9/3 =  37/3 + 9/3  =  46/3

a₇ = a₆ + 9/3 = 46/3 + 9/3 = 55/3

a₈ = a₇ + 9/3 = 55/3+ 9/3 =  64/3

a₉ = a₈ +  9/3 = 64/3+ 9/3 = 73/3 

A soma dos quatro últimos termos será: S = a_7 + a_8 + a_9 + 82/3 = (55 + 64 + 73 + 82 )/ 3 = 274/ 3

A média aritmética entre quatro números é a soma desses números dividida por 4. Logo:

M = 274/3 : 4 = 274 /12 = 137 / 6

Resp. B

23) Observe a função f, definida por: f (x) = x² -  2kx + 29, para x ∈ IR

Se f (x) ≥ 4, para todo número real x, o valor mínimo da função f é 4.

Assim, o valor positivo do parâmetro k é:

(A) 5

(B) 6

(C) 10

(D) 15

Solução: Se o valor mínimo da função é 4, então:

Y_v = - ∆/ 4a = 4 .: - ∆ = 16

- ∆ = - [(- 2k)² - 4. 29] = - [ 4k² - 116] = - 4k² + 116

- 4k² + 116 = 16

- 4k² = - 100

k² = 25

k = ± 5

O valor positivo de k é 5.

Resp. A

24) Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, têm a forma de dodecaedros regulares. Se

os dodecaedros estão justapostos por uma de suas faces, que coincidem perfeitamente, formam

um poliedro côncavo, conforme ilustra a figura.

Considere o número de vértices V, de faces F e de arestas A desse poliedro côncavo.

A soma V + F + A é igual a:

(A) 102    (B) 106     (C) 110    (D) 112

Solução:

Vamos primeiramente calcular o número de vértices do icosaedro através da Relação de Euler: V + F = A + 2

Temos 12 faces, F = 12

Temos 12x 5/ 2 = 30 arestas, logo

V + F = A + 2

V + 12 = 30 + 2

V = 20

Vamos agora analisar o poliedro formado. Percebemos que uma face do poliedro azul está sobreposta à face do poliedro vermelho. então:

A = 30 + 30 - 5 = 55

V = 20 + 20 - 5 = 35

F = 12 + 12 - 2 = 22

A + V + F = 112

Resp. D

Solução:

De acordo com a propriedade fundamental do logaritmo, E = 10^15,3

Como 15,3 < 15,5, então 10^15,3 ≡ 10¹⁵

^{Resp. B}

^{A medida, em grau, do menor ângulo ACB corresponde a}

^{a) 45    b) 60   c) 75    d) 105}

^Solução:

^{Vamos considerar a figura acima redesenhada. Sendo AF = 16 m e DF= CH = 11 m, então AD = AF - DF = 5 m. Como AC é raio, então AC = 10m. Logo, o triângulo ADC é egípcio e o ângulo oposto ao menor cateto, 5 m, igual a 30º.}

^{Considerando agora o triângulo retângulo CEB, EB = 11 - 3,95 = 7,05. Chamamos o ângulo oposto ao cateto EB de x, logo sen x = 7,05/ 10 = 0,705, ou seja, x é aproximadamente 45º. Portanto o ângulo ACB = 30º + 45º = 75º}

^{Resp. C}

²⁷⁾ Um índice de inflação de 25% em um determinado período de tempo indica que, em média, os

preços aumentaram 25% nesse período. Um trabalhador que antes podia comprar uma

quantidade X de produtos, com a inflação e sem aumento salarial, só poderá comprar agora

uma quantidade Y dos mesmos produtos, sendo Y < X.

Com a inflação de 25%, a perda do poder de compra desse trabalhador é de:

(A) 20%    (B) 30%    (C) 50%     (D) 80% 

Solução: Inflação e poder de compra são grandezas inversamente proporcionais.
Inflação          Poder de compra (Inverte)
100%                      100%
125%                        x

125/100 = 100/ x
125x = 10000
x = 80
Portanto a perda será de 20%.

Resp. A (Corrigido)

Solução: O número de possibilidades de 6 entre 9 lâmpadas estarem apagadas será C_9,6.  Para as três lâmpadas acesas podemos combinar C_3,2 . Teríamos portanto C_9,6.C_3,2 possibilidades com 6 lâmpadas apagadas, duas acesas de uma cor e uma de outra. Como são duas situações possíveis, teremos 2.C_9,6.C_{3,2 =} 504
Uma vez que cada possibilidades acontece a cada segundo, serão necessários 504 s para todas as possibilidades ocorrerem.
504 s = 8 min 24 s
Resp. B

29) Em um sistema de codificação, AB representa os algarismos do dia do nascimento de uma
pessoa e CD os algarismos de seu mês de nascimento. Nesse sistema, a data trinta de julho, por
exemplo, corresponderia a:
A = 3    B = 0     C = 0    D = 7
Admita uma pessoa cuja data de nascimento obedeça à seguinte condição:
A + B + C + D = 20
O mês de nascimento dessa pessoa é:
(A) agosto
(B) setembro
(C) outubro
(D) novembro

Solução: Se A e B representam o dia, então a maior soma será 2 + 9 = 11. C e D representam o mês, logo a maior soma será 0 + 9 = 9.
Como A + B + C + D = 20, então a soma deverá ser a maior possível. Portanto o mês será 09, ou seja, setembro.
Resp. B

ORIGAMI E MATEMÁTICA: A LENDA DO PÁSSARO TSURU

O origami é uma arte japonesa de dobradura com papel conhecida no mundo todo.  Um origami muito conhecido é o tsuru Grou – Cegonha, ave sagrada e popular do Japão, que  simboliza saúde, fortuna, boa sorte e felicidade. Costuma-se dizer que esta ave é o símbolo da longevidade.

Segundo a lenda do Tsuru na cultura japonesa, a pessoa que fizer mil dobraduras desse pássaro, fixando o pensamento em um pedido, terá seu desejo realizado. Quando oferecido como presente, significa votos de saúde e prosperidade.

Tsuru e o Dia da Paz

Em 1945, depois da explosão da bomba de Hiroshima, surgiram várias doenças no Japão, entre os sobreviventes da guerra. A pequena Sadako, com 12 anos de idade, foi diagnosticada com Leucemia.

Em tratamento no hospital recebeu de um amigo, vários papéis coloridos para que ela fizesse 1000 origamis do tsuru, junto com o pedido de cura. Como a doença se agravava a cada dia, Sadako começou a pedir pela paz mundial.  Mas, no dia 25 de outubro de 1955, ao completar 964 tsurus, ela faleceu.

Os amigos completaram os 1000 tsurus e iniciaram uma campanha para arrecadar dinheiro para construir um monumento pela paz. Em 1958 o monumento foi inaugurado, no Parque da Paz de Hiroshima. Todos os anos, no dia 6 de agosto, dia do bombardeio, se faz uma cerimônia no parque, pela paz e para lembrar as vítimas de Hiroshima.

CONTEÚDOS MATEMÁTICOS TRABALHADOS NA CONSTRUÇÃO

 Mais detalhes da construção no vídeo: 

ATIVIDADES:

1) Após os dois primeiros passos temos um quadrado dividido em quatro partes iguais por suas diagonais. Confirme o número de diagonais através da fórmula D= n.(n-3)/ 2

2) Quais as quatro figuras formadas pelas diagonais? Classifique em triângulos equiláteros, triângulos isósceles ou triângulos escalenos.
3) Quais as medidas de seus ângulos?
4) Qual a fração que cada figura representa do inteiro?
5) Quais os ângulos formados pelas diagonais do quadrado?
6) Após os 3º e 4º passos, nos quais unimos os pontos médios (metade) dos lados do quadrado, o quadrado ficou dividido em quantas partes?
7) Qual a fração que representa cada uma dessas partes?

ENEM 2015

Já estão abertas as inscrições para o Enem 2015. O prazo para realizar a inscrição vai até o dia 5 de junho que pode ser feita no site http://enem.inep.gov.br/. Alunos que estão concluindo os estudos em escolas públicas são automaticamente isentos da taxa de R$ 63,00. Pessoas de baixa renda têm o direito de declarar carência no Enem 2015, pedindo isenção da taxa de inscrição. As provas deste ano serão aplicadas nos dias 24 e 25 de outubro.

Bons estudos e sucesso!

POLÍGONOS REGULARES E UM POUCO DE ARTE

POLÍGONOS REGULARES

Polígonos são figuras geométricas formadas por uma linha poligonal fechada. Seus elementos são ângulos (internos e externos) , vértices, diagonais e lados. Seu nome é dado de acordo com o número de lados.Se os ângulos do polígono forem menores que 180º, ele será convexo.

O polígono é regular quando todos os lados tem mesma medida e todos os ângulos internos são congruentes. A seguir os polígonos mais importantes:

3: Triângulo
4: Quadrilátero
5: Pentágono
6: Hexágono
7: Heptágono
8: Octógono
9: Eneágono
10: Decágono
11: Undecágono
12: Dodecágono

15: Pentadecágono

20: Icoságono

DIAGONAIS DE UM POLÍGONO

Diagonais são segmentos de reta que ligam um vértice a outro não consecutivo passando pelo interior do polígono. 

O número de diagonais de um polígono depende do número de lados (n) e pode ser calculado pela expressão:

D = n . (n - 3) / 2

As diagonais de um polígono poderão passar pelo centro geométrico deste. O número de diagonais que passam pelo centro é dado por:

Dpc = n / 2

Logo, apenas os polígonos de índices (número de lados) pares possuirão diagonais passando pelo seu centro.

Ângulos de um polígono

A soma dos ângulos internos de qualquer polígono depende do número de lados (n), sendo usada a seguinte expressão para o cálculo:

 S = 180º.(n – 2), onde n o número de lados.

No caso dos polígonos regulares, todos os n ângulos internos serão iguais. Portanto, para calcular sua medida, basta dividirmos a soma dos ângulos internos por n. Temos então:

Ai = 180º .(n-2) / n

A soma dos ângulos externos de qualquer polígono sempre será 360º, baseando-se no seguinte princípio: quanto maior o número de lados do polígono mais ele se assemelha a uma circunferência (possui giro completo igual a 360º). Por analogia, todos os ângulos externos são iguais num polígono regular e sua medida pode ser calculada por:

Ae = 360º / n

Observe que o cálculo do ângulo externo é muito mais simples que o cálculo do ângulo interno. Como esses ângulos são suplementares (somam 180º) em muitos casos é mais vantajoso calcular o ângulo externo e depois o interno ( seu suplemento). 

Ai + Ae = 180º

Exercícios

1) Calcular o número de diagonais dos polígonos regulares da lista acima.

2) O número de diagonais de um hexágono, é: 

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

3)  O polígono que tem o número de lados igual ao número de diagonais é o: 

a) hexágono b) pentágono c) triângulo d) heptágono e) não existe

4)A soma dos ângulos internos de um pentágono regular é: 

 a) 1080º b) 540º c) 360º d) 180º e) 720º

5)  Qual a medida do ângulo interno de um decágono regular? 

a) 230° b) 130° c) 144° d) 28° e) 150°

6) O ângulo interno de um polígono de 170 diagonais é: 

a) 80° b) 170° c) 162° d) 135° e) 81°

7) Qual o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo do externo? 

a) Dodecágono b) Pentágono c) Octógono d) Heptágono e) Hexágono

8)  O polígono convexo cuja soma dos ângulos internos mede 1.440° tem exatamente: 

a) 15 diagonais b) 20 diagonais c) 25 diagonais d) 30 diagonais e) 35 diagonais

9) Qual é o polígono regular em que o número de diagonais é igual ao dobro do número de lados?

a) Dodecágono b) Pentágono c) Octógono d) Heptágono e) Hexágono

10) Quantas diagonais em o heptágono regular da moeda de R$ 0,25 ?

a) 5   b) 7  c) 14   d) 21   e) 70

11) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20°. Então o número de diagonais desse polígono é: 

a) 90 b) 104 c) 119 d) 135 e) 152

Gabarito

2) A

3) B

4) B

5) C

6) C
7) C
8) E
9) D
10) C
11) D

UM TOQUE DE ARTE!

Podemos identificar a presença dos polígonos também na arte. O cubismo, movimento artístico que surgiu no século XX, nas artes plásticas, tendo como principais fundadores Pablo Picasso e Georges Braque,  tratava as formas da natureza por meio de figuras geométricas, representando as partes de um objeto no mesmo plano.

Pintura cubista de Pablo Picasso

Pintura cubista de  Georges Braque

CORES PRIMÁRIAS, SECUNDÁRIAS E TERCIÁRIAS

A cor é uma sensação visual que só existe quando há luz. Três cores são base para as demais cores. São as cores puras, chamadas cores primárias. Essas cores são primitivas e não são formadas a partir de misturas de outras cores.

As cores primárias são: vermelho, amarelo e azul.

Quando misturamos duas cores primárias temos uma cor secundária. São elas: roxa, laranja e verde.

Cores terciárias resultam da mistura de uma cor primária com uma secundária. Essas cores recebem o nome das cores que lhe deram origem.

 Atividade de aula em grupo!

 São dados os polígonos regulares hexágono, heptágono, octógono, eneágono, decágono, dodecágono, pentadecágono e icoságono.

a) Trace as diagonais que passam pelo centro dos polígonos distribuídos e  confira com o cálculo.

b) Trace todas as diagonais dos polígonos dados e confira com o cálculo.

c) Conte o número de diagonais que não passam pelo centro de cada polígono dado e confira com  cálculo D - Dpc .

d) Com a ajuda de um transferidor, calcule a medida do ângulo interno de cada polígono dado e confira com o cálculo adequado.

e) Usando a relação Ai + Ae = 180º , calcule a medida do ângulo externo.

Use sua criatividade!

f) Usando apenas as cores primárias, vamos colorir os polígonos de índice par, exceto o icoságono.

g) Usando apenas as cores secundárias, vamos colorir os polígonos de índice ímpar.

h) Para colorir o icoságono, use todas as cores.

CLASSIFICAÇÃO DO SIMULADO CN/CPCAR

1º - Julio César B. de Oliveira
2º - Abner Rangel Cruz
3º - Lucas da Silva Souza
4º - Gabriel Henrique Costa
5º - Sant Clair Gama
6º - Caio Cardoso
7º - Gabriel Brendo Silva
8º - Pedro Lucas Almeida
9º - Rafael de Souza Silva
10º- Yago de Assis Silva
11º- Caio Alexandre
12º- Lucas Emilio dos Santos
13º- Matheus Couto
14º- Pedro Henrique Florencio
15º- Gabriel Gregório
16º- Moisés
17º- Brendo dos Santos

Os nomes destacados em mesma cor, obtiveram iguais pontuações, tendo sido a ordem dos nomes alfabética.

Segue o gabarito para conferência.

1- A
2- C
3- A
4- C
5- C
6- C
7- A
8- C
9- B
10- A

POTENCIAÇÃO / CÓDIGO BINÁRIO

O Sistema Binário é um sistema de numeração de base 2, ou seja, admite apenas os algarismos 0 (zero) e 1 (um). Só existem duas possibilidades, sempre opostas: ligado ou desligado, certo ou errado, verdadeiro ou falso, ...
Os microprocessadores identificam apenas sinais elétricos e os distingue em dois níveis de voltagem:  

•  alto, "high", H , correspondente a tensão elétrica alta, e 
•  baixo, "low", L, tensão elétrica baixa 

Portanto, qualquer comunicação com o microprocessador pode ser reduzida apenas a dois sinais, associando-se H com o bit 1 e o L com o bit 0.

Nos números binários cada bit guarda o valor das potências crescentes de 2.

Lembrando:

Definição: Potenciação é o mesmo que multiplicar um número (base) por ele mesmo n vezes, onde n é o expoente. 

Exemplo:

5² (leia-se "cinco elevado ao quadrado", ou "cinco elevado à segunda potência" ou ainda "cinco elevado à dois").

No exemplo, precisamos multiplicar o 5 por ele mesmo. Ficando: 5.5 = 25.

Então 3³ = 3 . 3 . 3 = 3 . 9 = 27

Algumas outras definições que podem ser utilizadas:

a¹ = a

( Todo número elevado a primeira potência é igual a ele mesmo).

a⁰ = 1, a ≠ 0

( Todo número elevado a zero é igual a unidade (1 ou um)).

Propriedades

1 - Multiplicação de potências de bases iguais = mantenha a base e some os expoentes:

aⁿ . a^m = a^n+m

2 - Divisão de potências de bases iguais - mantenha a base e subtraia os expoentes:

(aⁿ) / (a^m) = a^n-m , "a" diferente de zero.

3 - Potência de potência = mantenha a base e multiplique os expoentes:

(a^m)ⁿ = a^{m . n}

Observação:

As potências abaixo NÃO são iguais:

(a^m)ⁿ ≠ a^mn

na primeira, resolvemos o que está entre parênteses primeiro, já na segunda, nós devemos elevar m à n, e depois elevar a ao resultado da operação anterior.

4 - (a . b)ⁿ = aⁿ . bⁿ

5 - (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ , "b" diferente de zero.

Potenciação com números negativos

Observe os exemplos abaixo:

(-3)² = 9
-3² = - 9

O sinal de negativo ( - ) na frente do três, só fará parte da potenciação quando estiver dentro de um parêntese, caso contrário, ele se mantém no resultado.

Como no primeiro exemplo o expoente é 2, número par, então o resultado do 3 ao final se transforma em positivo. Se fosse ímpar, o resultado seria negativo:
(- 3)³ = (- 3) . (- 3) . (- 3) = 9 . (- 3) = - 27

se tirarmos os parênteses

- 3³ = - 3 . 3 . 3 = - 9 . 3 = - 27

Voltando ao sistema binário ... como descobrir então qual o valor em decimal do número 1010 ?

1	0	1	0
( 1 * 23 )	+ ( 0 * 22 )	+ ( 1 * 21)	+ ( 0 * 20 )
8	0	2	0
= 8 + 0 + 2 + 0  =  10

Os computadores são programados para armazenar informações em grupos de bits chamados bytes. Byte é uma palavra formada por bit  e "eigth" que significa 8 (oito) em inglês. Portanto, 1 byte = 8 bits. O byte designa unidade de infirmação formada por oito bits e usada como medida de tamanho de memória.

Um byte pode representar até 255 valores diferentes, ou seja, seria  maior combinação de oito bits:

11111111 = 255, pois 1x2⁷ + 1x2⁶ + 1x2⁵ + 1x2⁴ + 1x2⁴ + 1x2³ + 1x2² + 1x2¹ + 1x2⁰ = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255

Quando os primeiros computadores foram criados, verificou-se a necessidade de 250 códigos diferentes para se representar distintamente todos as possibilidades de letras (maiúscula e minúscula), números, símbolos, etc. Então, cada caracter diferente recebeu um valor. O A, por exemplo, recebeu o 65.

potência	27	26	25	24	23	22	21	20
valor	128	64	32	16	8	4	2	1
código	0	1	0	0	0	0	0	1

Portanto:

Valor	Código binário
A = 65	01000001

Observação: Percebemos alguns conceitos de potências mencionados acima, são eles:

2ⁿ = 2 x 2 x 2 x ... x 2 = C

            n vezes

a¹ = a

( Todo número elevado a primeira potência é igual a ele mesmo).

a⁰ = 1, a ≠ 0

( Todo número elevado a zero é igual a unidade (1 ou um)).

Assim o A maiúsculo que é representado pelo 65, na linguagem de máquina se transforma em 01000001, ou seja, ( 64+ 1) sempre lendo da esquerda para a direita.

Portanto, quando pressionamos a letra A maiúscula no teclado, o que é enviado para o processador é o código binário do 65, ou seja, 01000001.

As outras letras, os números, acentos e vários outros sinais são gerados de maneira idêntica, resultando em uma tabela denominada Código ASCII, que é o código mais usado na comunicação de diferentes tipos de fabricantes.

ATIVIDADES

1) João digitou uma carta para sua namorada e, no fim, escreveu uma palavra, em letras maiúsculas, que o computador entendeu no seguinte código: 01000001 01001101 01001111 01010010 00001101 00001010 .
a) Qual foi a palavra digitada?
b) Qual o somatório de todas as letras, quando transferimos para o sistema decimal?

2) Como o processador entende a palavra "Vida" segundo o código binário?

SIMULADO 14/03 - EsPCEx/ CN

Um provedor de acesso à internet oferece dois planos para os assinantes:

Plano A - Assinatura mensal de R$ 8,00, mais R$ 0,03 por cada minuto de conexão durante o mês.

Plano B - Assinatura mensal de R$ 10,00, mais R$ 0,02 por cada minuto de conexão durante o mês.

Acima de quantos minutos de conexão por mês é mais econômico optar pelo Plano B.

a) 160   b) 180  c) 200  d) 220  e) 240

Solução:

Para o plano A temos a seguinte equação: y = 8 + 0,03x e para o plano B: y = 10 + 0,02x

O plano B será mais econômico que o A quando 10 + 0,02x ˂ 8 + 0,03x logo temos:

10 + 0,02x ˂ 8 + 0,03x

2 ˂ 0,01x

x ˃ 200

Resp: C

Uma  empresa  de  Telefonia  Móvel  cobra  de  seus clientes R$ 0,20 por minuto, para ligações entre telefones habilitados por ela e R$ 0,30 por minuto, para ligações entre telefones habilitados por ela e outras operadoras. Um cliente dessa empresa pagou R$ 24,00 referente a

100  minutos  de  ligações  efetuada  nos  dois  modos.  O número de minutos que esse cliente utilizou, ligando para telefone de outras operadoras é:

a) 15   b) 30  c) 40   d) 88   e) 60

Solução:

Temos 0,2x + 0,3y = 24 e x + y = 100.

0,2x + 0,3y = 24    x (-5)

x + y = 100

-x -1,5y = -120

-0,5y = -20

y = 40

x = 60

Resp: C

Sejam C = {complexos}; Q = {racionais}; IR = {reais};  Z = {inteiros}; IN = {naturais}. Define-se ainda:

•  {r} = IR ∩C;

•  {s} = (IN ∩Z) ∪Q;

•  {t} = IN ∪(Z ∩Q) e

•  {u} = (Q ∩IR) ∪(IR – Q).

Então, {r} ∩{s} ∩{t}  ∩{u} é:

a)IR  b)Z  c)C  d)Q  e)IN

Solução:

IR ∩C = IR, logo {r} = IR

(IN ∩Z) ∪Q = Q, logo {s} = Q

IN ∪ (Z ∩Q) = Z, logo  {t} = Z

(Q ∩IR) ∪(IR – Q) = IR, logo {u} = Z

Então {r} ∩{s} ∩{t}  ∩{u} = IR ∩ Q ∩ Z = Z

Resp: B

Seja a/b a fração geratriz da dízima 0,1222... com a e b primos entre si. Nestas condições, temos:

a)a^b= 990   b)ab = 900  c)a – b = 80  d) a + b = 110  e) b – a = 79

Solução:

a/b = 0,12222...

a/b = (12 - 1)/ 90

a/b = 11/ 90

b - a = 90 - 11

b - a = 79

Resp: E

Sejam  os  intervalos  reais  A  =  ]-∞,  1],  B  =  ]0,  2]  e  C = [-1, 1]. O intervalo C ∪(A ∩B) é:

a)]1; 1]  b)[-1; 1]  c)[0; 1]  d)]0; 1]  e)]-∞, -1]

Resp: B

Seja IN = {0, 1, 2, 3,...}. Se n ∈IN, qual das regras de  associação a seguir define uma função de IN em IN?

a)  n é associado a sua metade.

b)  n é associado a seu antecessor.

c)  n é associado ao resto de sua divisão por 7.

d)  n é associado a p tal que p é primo e p < n.

e)  n é associado a m tal que m é múltiplo de n.

Solução:

Para que tenhamos uma função definida de IN em IN, cada elemento do domínio (IN) deverá se corresponder com apenas um elemento do CD pertencente a IN. Logo

Resp: E

Sejam p e q inteiros positivos com p > q, e f uma função de f: IR+ →IR tal que f(x) = √x Nessas condições, o valor numérico de (p - q) / ( f(p) - f(q))   é igual a:

a)p.f(p) + q.f(q)

b)p.f(q) + q.f(p)

 c)f(p) + f(q) 

 d)f(p) – f(q)

e)f(p).f(q)

O gráfico a seguir:

a)  Representa uma função f: [a, b] →IR.

b)  Não  representa  uma  função  de  [a,  b]  em  IR  porque  existe  y  ∈ IR que não é imagem de qualquer x ∈[a, b].

c)  Não representa uma função de [a, b] em IR porque existe elemento x ∈[a, b] com mais de uma imagem.

d)  Representa uma função f: [a, b] →[p, d].

e)  nda

Solução:

Basta traçarmos uma reta vertical paralela ao eixo Y e perceberemos que essa reta seccionará o gráfico em mais de um ponto.

Resp: C

Considere a função de variável real f(x) = ax + b/x para x ≠0. f(2) = 5 e f(3) = 5, então a + b é igual a:

a)3  b)4  c)5  d)6  e)7

Solução:

f(2) = f(3) = 5

2a + b/2  = 5  x(2)

3a + b/3 = 5   x(3)

4a + b = 10    x(-1)

9a + b = 15

-4a - b = -10

5a = 5

a = 1

b = 6

a + b = 7

Resp: E

Observe o gráfico da função f:

a)  f assume o valor máximo em x = c

b)  f assume o valor mínimo em x ∈ {x ∈IR: d ≤x < e}

c)  o conjunto imagem de f é {y ∈IR: m < y ≤n}

d)  o domínio de f é {x ∈IR: a < x ≤e}

e)  f não está definida em x = a.

Solução:

Observando o gráfico, percebemos que seu valor mínimo está no intervalo [ d, e [

Resp: B