Podemos desmembrar a diferença ( 10² + 20² + 30² + ... + 100²) - ( 9² + 19² + 29² + ... + 99² ) da seguinte maneira:
10² - 9² + 20² - 19² + 30² - 29² + ... + 100² - 99²
Dessa maneira percebemos uma soma de diferenças de quadrados.
Temos então:
( 10 - 9 ) ( 10 + 9 ) + ( 20 - 19 ) ( 20 + 19 ) + ... + ( 100 - 99 ) ( 100 + 99 ) =
1 ( 10 + 9 ) + 1 ( 20 + 19 ) + ... + 1 ( 100 + 99 ) =
10 + 9 + 20 + 19 + 30 + 29 + ... + 100 + 99 +
(10 + 20 + 30 + ... + 100) + (9 + 19 + 29 + ... + 99)
Observamos duas P.As. de razão 10.
A soma em questão será a adição das somas dos termos das duas P.As.
(10 + 20 + 30 + ... + 100) + (9 + 19 + 29 + ... + 99) =
(10 + 100 ) 10/2 + (9 + 99 ) 10 /2 =
550 + 540 = 1090
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