Polígonos são figuras geométricas formadas por uma linha poligonal fechada. Seus elementos são ângulos (internos e externos) , vértices, diagonais e lados. Seu nome é dado de acordo com o número de lados.Se os ângulos do polígono forem menores que 180º, ele será convexo.
O polígono é regular quando todos os lados tem mesma medida e todos os ângulos internos são congruentes. A seguir os polígonos mais importantes:
3: Triângulo
4: Quadrilátero
5: Pentágono
6: Hexágono
7: Heptágono
8: Octógono
9: Eneágono
10: Decágono
11: Undecágono
12: Dodecágono
4: Quadrilátero
5: Pentágono
6: Hexágono
7: Heptágono
8: Octógono
9: Eneágono
10: Decágono
11: Undecágono
12: Dodecágono
15: Pentadecágono
20: Icoságono
DIAGONAIS DE UM POLÍGONO
Diagonais são segmentos de reta que ligam um vértice a outro não consecutivo passando pelo interior do polígono.
O número de diagonais de um polígono depende do número de lados (n) e pode ser calculado pela expressão:
D = n . (n - 3) / 2
As diagonais de um polígono poderão passar pelo centro geométrico deste. O número de diagonais que passam pelo centro é dado por:
Dpc = n / 2
Logo, apenas os polígonos de índices (número de lados) pares possuirão diagonais passando pelo seu centro.
Ângulos de um polígono
A soma dos ângulos internos de qualquer polígono depende do número de lados (n), sendo usada a seguinte expressão para o cálculo:
A soma dos ângulos internos de qualquer polígono depende do número de lados (n), sendo usada a seguinte expressão para o cálculo:
S = 180º.(n – 2), onde n o número de lados.
No caso dos polígonos regulares, todos os n ângulos internos serão iguais. Portanto, para calcular sua medida, basta dividirmos a soma dos ângulos internos por n. Temos então:
Ai = 180º .(n-2) / n
A soma dos ângulos externos de qualquer polígono sempre será 360º, baseando-se no seguinte princípio: quanto maior o número de lados do polígono mais ele se assemelha a uma circunferência (possui giro completo igual a 360º). Por analogia, todos os ângulos externos são iguais num polígono regular e sua medida pode ser calculada por:
Ae = 360º / n
Observe que o cálculo do ângulo externo é muito mais simples que o cálculo do ângulo interno. Como esses ângulos são suplementares (somam 180º) em muitos casos é mais vantajoso calcular o ângulo externo e depois o interno ( seu suplemento).
Ai + Ae = 180º
Exercícios
1) Calcular o número de diagonais dos polígonos regulares da lista acima.
2) O número de diagonais de um hexágono, é:
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
3) O polígono que tem o número de lados igual ao número de diagonais é o:
a) hexágono b) pentágono c) triângulo d) heptágono e) não existe
4)A soma dos ângulos internos de um pentágono regular é:
a) 1080º b) 540º c) 360º d) 180º e) 720º
5) Qual a medida do ângulo interno de um decágono regular?
a) 230° b) 130° c) 144° d) 28° e) 150°
6) O ângulo interno de um polígono de 170 diagonais é:
a) 80° b) 170° c) 162° d) 135° e) 81°
7) Qual o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo do externo?
a) Dodecágono b) Pentágono c) Octógono d) Heptágono e) Hexágono
8) O polígono convexo cuja soma dos ângulos internos mede 1.440° tem exatamente:
a) 15 diagonais b) 20 diagonais c) 25 diagonais d) 30 diagonais e) 35 diagonais
9) Qual é o polígono regular em que o número de diagonais é igual ao dobro do número de lados?
a) Dodecágono b) Pentágono c) Octógono d) Heptágono e) Hexágono
10) Quantas diagonais em o heptágono regular da moeda de R$ 0,25 ?
a) 5 b) 7 c) 14 d) 21 e) 70
11) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20°. Então o número de diagonais desse polígono é:
a) 90 b) 104 c) 119 d) 135 e) 152
Gabarito
2) A
3) B
4) B
5) C
6) C
7) C
8) E
9) D
10) C
11) D
7) C
8) E
9) D
10) C
11) D
UM TOQUE DE ARTE!
Podemos identificar a presença dos polígonos também na arte. O cubismo, movimento artístico que surgiu no século XX, nas artes plásticas, tendo como principais fundadores Pablo Picasso e Georges Braque, tratava as formas da natureza por meio de figuras geométricas, representando as partes de um objeto no mesmo plano.
Podemos identificar a presença dos polígonos também na arte. O cubismo, movimento artístico que surgiu no século XX, nas artes plásticas, tendo como principais fundadores Pablo Picasso e Georges Braque, tratava as formas da natureza por meio de figuras geométricas, representando as partes de um objeto no mesmo plano.
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| Pintura cubista de Pablo Picasso |
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| Pintura cubista de Georges Braque |
CORES PRIMÁRIAS, SECUNDÁRIAS E TERCIÁRIAS
A cor é uma sensação visual que só existe quando há luz. Três cores são base para as demais cores. São as cores puras, chamadas cores primárias. Essas cores são primitivas e não são formadas a partir de misturas de outras cores.
As cores primárias são: vermelho, amarelo e azul.
Quando misturamos duas cores primárias temos uma cor secundária. São elas: roxa, laranja e verde.
Cores terciárias resultam da mistura de uma cor primária com uma secundária. Essas cores recebem o nome das cores que lhe deram origem.
Atividade de aula em grupo!
São dados os polígonos regulares hexágono, heptágono, octógono, eneágono, decágono, dodecágono, pentadecágono e icoságono.
a) Trace as diagonais que passam pelo centro dos polígonos distribuídos e confira com o cálculo.
b) Trace todas as diagonais dos polígonos dados e confira com o cálculo.
c) Conte o número de diagonais que não passam pelo centro de cada polígono dado e confira com cálculo D - Dpc .
d) Com a ajuda de um transferidor, calcule a medida do ângulo interno de cada polígono dado e confira com o cálculo adequado.
e) Usando a relação Ai + Ae = 180º , calcule a medida do ângulo externo.
Use sua criatividade!
f) Usando apenas as cores primárias, vamos colorir os polígonos de índice par, exceto o icoságono.
g) Usando apenas as cores secundárias, vamos colorir os polígonos de índice ímpar.
h) Para colorir o icoságono, use todas as cores.
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