18 de maio de 2015

POLÍGONOS REGULARES E UM POUCO DE ARTE

POLÍGONOS REGULARES

Polígonos são figuras geométricas formadas por uma linha poligonal fechada. Seus elementos são ângulos (internos e externos) , vértices, diagonais e lados. Seu nome é dado de acordo com o número de lados.Se os ângulos do polígono forem menores que 180º, ele será convexo.
O polígono é regular quando todos os lados tem mesma medida e todos os ângulos internos são congruentes. A seguir os polígonos mais importantes:

3: Triângulo
4: Quadrilátero
5: Pentágono
6: Hexágono
7: Heptágono
8: Octógono
9: Eneágono
10: Decágono
11: Undecágono
12: Dodecágono
15: Pentadecágono
20: Icoságono

DIAGONAIS DE UM POLÍGONO

Diagonais são segmentos de reta que ligam um vértice a outro não consecutivo passando pelo interior do polígono. 
O número de diagonais de um polígono depende do número de lados (n) e pode ser calculado pela expressão:
D = n . (n - 3) / 2

As diagonais de um polígono poderão passar pelo centro geométrico deste. O número de diagonais que passam pelo centro é dado por:

Dpc = n / 2

Logo, apenas os polígonos de índices (número de lados) pares possuirão diagonais passando pelo seu centro.

Ângulos de um polígono

A soma dos ângulos internos de qualquer polígono depende do número de lados (n), sendo usada a seguinte expressão para o cálculo:

 S = 180º.(n – 2), onde n o número de lados.

No caso dos polígonos regulares, todos os n ângulos internos serão iguais. Portanto, para calcular sua medida, basta dividirmos a soma dos ângulos internos por n. Temos então:

Ai = 180º .(n-2) / n


A soma dos ângulos externos de qualquer polígono sempre será 360º, baseando-se no seguinte princípio: quanto maior o número de lados do polígono mais ele se assemelha a uma circunferência (possui giro completo igual a 360º). Por analogia, todos os ângulos externos são iguais num polígono regular e sua medida pode ser calculada por:

Ae = 360º / n

Observe que o cálculo do ângulo externo é muito mais simples que o cálculo do ângulo interno. Como esses ângulos são suplementares (somam 180º) em muitos casos é mais vantajoso calcular o ângulo externo e depois o interno ( seu suplemento). 

Ai + Ae = 180º


Exercícios
1) Calcular o número de diagonais dos polígonos regulares da lista acima.
2) O número de diagonais de um hexágono, é: 
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

3)  O polígono que tem o número de lados igual ao número de diagonais é o: 
a) hexágono b) pentágono c) triângulo d) heptágono e) não existe

4)A soma dos ângulos internos de um pentágono regular é: 
 a) 1080º b) 540º c) 360º d) 180º e) 720º

5)  Qual a medida do ângulo interno de um decágono regular? 
a) 230° b) 130° c) 144° d) 28° e) 150°

6) O ângulo interno de um polígono de 170 diagonais é: 
a) 80° b) 170° c) 162° d) 135° e) 81°

7) Qual o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo do externo? 
a) Dodecágono b) Pentágono c) Octógono d) Heptágono e) Hexágono

8)  O polígono convexo cuja soma dos ângulos internos mede 1.440° tem exatamente: 
a) 15 diagonais b) 20 diagonais c) 25 diagonais d) 30 diagonais e) 35 diagonais

9) Qual é o polígono regular em que o número de diagonais é igual ao dobro do número de lados?
a) Dodecágono b) Pentágono c) Octógono d) Heptágono e) Hexágono

10) Quantas diagonais em o heptágono regular da moeda de R$ 0,25 ?
a) 5   b) 7  c) 14   d) 21   e) 70

11) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20°. Então o número de diagonais desse polígono é: 
a) 90 b) 104 c) 119 d) 135 e) 152

Gabarito

2) A
3) B
4) B
5) C
6) C
7) C
8) E
9) D
10) C
11) D



UM TOQUE DE ARTE!

Podemos identificar a presença dos polígonos também na arte. O cubismo, movimento artístico que surgiu no século XX, nas artes plásticas, tendo como principais fundadores Pablo Picasso e Georges Braque tratava as formas da natureza por meio de figuras geométricas, representando as partes de um objeto no mesmo plano.
Pintura cubista de Pablo Picasso
Pintura cubista de  Georges Braque

























CORES PRIMÁRIAS, SECUNDÁRIAS E TERCIÁRIAS

A cor é uma sensação visual que só existe quando há luz. Três cores são base para as demais cores. São as cores puras, chamadas cores primárias. Essas cores são primitivas e não são formadas a partir de misturas de outras cores.
As cores primárias são: vermelhoamarelo e azul.
Quando misturamos duas cores primárias temos uma cor secundária. São elas: roxalaranja verde.

Cores terciárias resultam da mistura de uma cor primária com uma secundária. Essas cores recebem o nome das cores que lhe deram origem.


 Atividade de aula em grupo!

 São dados os polígonos regulares hexágono, heptágono, octógono, eneágono, decágono, dodecágono, pentadecágono e icoságono.
a) Trace as diagonais que passam pelo centro dos polígonos distribuídos e  confira com o cálculo.
b) Trace todas as diagonais dos polígonos dados e confira com o cálculo.
c) Conte o número de diagonais que não passam pelo centro de cada polígono dado e confira com  cálculo D - Dpc .
d) Com a ajuda de um transferidor, calcule a medida do ângulo interno de cada polígono dado e confira com o cálculo adequado.
e) Usando a relação Ai + Ae = 180º , calcule a medida do ângulo externo.

Use sua criatividade!

f) Usando apenas as cores primárias, vamos colorir os polígonos de índice par, exceto o icoságono.
g) Usando apenas as cores secundárias, vamos colorir os polígonos de índice ímpar.
h) Para colorir o icoságono, use todas as cores.