SIMULADO EsPCEx/ CN (07/3) - CORREÇÃO

Seguem as soluções das questões do simulado do último dia 07 de março da parte de Matemática.

45) Num grupo de 142 pessoas, foi feita uma pesquisa sobre três programas de televisão A, B  e C e constatou-se que:

          I.40 não assistem a nenhum dos três programas; 

        II.103 não assistem ao programa C;

     III. 25 só assistem ao programa B;

      IV.13 assistem aos programas A  e B;

        V. O número de pessoas que assistem somente aos programas B e C é a metade dos que assistem somente a A e B;

      VI.25 só assiste 2 programas;

   VII.72 só assistem a um dos programas ;

Pode- se concluir que o número de pessoas que assistem:

a)Ao programa A é 30.

b)Ao programa C é 39.

c)Aos três programas é 6.

d) Ao programa A e C é 13.

e) Ao programa A ou B é 63.

Solução:

Percebemos que o conjunto universo tem 142 elementos. Se 40 não fazem parte de nenhum dos três conjuntos, então

 n (AUBUC) = 142 - 40 = 102.

103 pessoas não assistem ao programa C. Dentre elas 40 não assistem a nenhum dos três. Logo 103 - 40 = 63 assistem APENAS aos programas A ou B, ou seja, n( AUB) - n(C) = 63

Sendo n( AUBUC) = 102 e n( AUB) - n(C) = 63, então n(C) = 102 - 63 = 39

Resp. C

46)Sejam os conjuntos A= { X ∈ Z| X= 6n + 3, n ∈ Z} e B={ X ∈ Z| X= 3n, n ∈ Z}, em que Z é o conjunto dos números inteiros. Então, A ∩ B é igual a:

a) { X ∈ Z| x é par e múltiplo de 3}

b) { X ∈ Z| x é ímpar e múltiplo de 3}

c) { X ∈ Z| x é múltiplo de 3}

d) { X ∈ Z| x é múltiplo de 6}

e) { X ∈ Z| x é impar}

Solução: 

A= { X ∈ Z| X= 6n + 3, n ∈ Z} - Esse conjunto é formado por múltiplos de 6 mais três unidades. Todos os múltiplos de 6 são pares e múltiplos de 3 também. Se somamos três unidades aos múltiplos de 3 pares, então temos nesse conjunto, múltiplos de 3 ímpares. 

B={ X ∈ Z| X= 3n, n ∈ Z} - Esse é o conjunto de todos os múltiplos de 3.

Portanto A C B e  A ∩ B = A

Resp. B

47) Sejam os conjuntos  A = {1, 3 , 4} , B= { 1,2,3} e X. Sabe-se que qualquer subconjunto de A∩B está contido em X, que, por sua vez, é subconjunto de A∪B. Quantos são os possíveis conjuntos X?

a) 3   b) 4   c) 5    d) 6    e) 7

Solução:

Se qualquer subconjunto de A∩B está contido em X, então A∩B C X. Se  X é subconjunto de A∪B, então X C A∪B.

Portanto, n (X) ≤ 2. X pode ter até 2² formas diferentes (número de subconjuntos)

Resp. B

48) Em uma classe de x alunos, o professor de matemática escreveu, no quadro de giz, um conjunto A de n elementos. A seguir, pediu que, por ordem de chamada, cada aluno fosse ao quadro e escrevesse um subconjunto de A, diferente dos que já foram escritos. Depois de cumprirem com a tarefa, o professor notou que ainda existiam subconjuntos que não haviam sido escritos pelos alunos. Passou a chamá-los novamente, até que o 18º aluno seria obrigado a repetir um dos subconjuntos já escritos. O valor mínimo de x, que atende às condições dadas, está entre:

a) 24 e 30

b) 29 e 35.  

c) 34 e 40. 

d) 39 e 45.   

e) 44 e 50.

Solução:

Sabemos que o número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é dado pela relação 2ⁿ 

^{Como na segunda rodada o 18º participou, então a turma possui, no mínimo, 18 alunos.}

^{Temos o seguinte, portanto:}

^{x + 17 =} 2ⁿ 

^{x + 17 deve ser uma potência de 2, onde x é maior que 18.}

^{A menor possibilidade para x é x + 17 = 64; x = 47}

^{Resp. E}

49) Anulada

50) Na  Bienal  do  Livro  realizada  no  Riocentro,  Rio  de Janeiro,  os  livros  A,  B  e  C  de  um  determinado  autor apresentaram os seguintes  percentuais de vendas aos leitores:
• 48% compraram o livro A;
• 45% compraram o livro B;
• 50% compraram o livro C;
• 18% compraram os livros A e B;
• 25% compraram os livros B e C;
• 15% compraram os livros A e C;
• 5% não compraram nenhum dos livros.
Qual o percentual de leitores que compraram um, apenas um,dos três livros?
a) 10%  b) 18%  c)  29%  d)  38%  e)  57%

Solução:

Trata-se de uma questão clássica envolvendo três conjuntos. Devemos aplicar a fórmula:
n(AUBUC) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A∩B) - n (A∩C) - n (B∩C) + n (A∩B∩C)

Se considerarmos o total de leitores igual a 100, teremos:
95 = 48 + 45 + 50  18 - 25 - 15 + x
x = 10

Logo 10% dos eleitores compraram os três.
Resp. A

51 )Denotemos  por  n(X)  o  número  de  elementos  de  um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos, tais que 
n (A∪B) = 8, n (A ∪C) = 9, n (B ∪C) = 10, n (A ∪B ∪C) = 11 e n (A ∩B ∩C) = 2. Então, n (A) + n (B) + n (C) é igual a:
a)  11   b)  14  c)  15   d)  18   e)  25 

Solução:

Novamente aplicação direta da fórmula: n(AUBUC) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A∩B) - n (A∩C) - n (B∩C) + n (A∩B∩C)

n (AUB) = n (A) + n (B) - n (A∩B)
n (AUC) = n (A) + n (C) - n (A∩C)
n (BUC) = n (B) + n (C) - n (B∩C)
__________________________________ +
n (AUB) + n (AUC) + n (BUC) = 2[ n (A) + n (B) + n (C)] - [ n (A∩B) + n (A∩C) + n (B∩C)]
- [ n (A∩B) + n (A∩C) + n (B∩C)] = n (AUB) + n (AUC) + n (BUC) - 2[ n (A) + n (B) + n (C)]

Substituindo na relação principal, temos:

 n(AUBUC) = n (A) + n (B) + n (C) + n (AUB) + n (AUC) + n (BUC) - 2[ n (A) + n (B) + n (C)] + n (A∩B∩C) 
n (A) + n (B) + n (C) = n (AUB) + n (AUC) + n (BUC) - n(AUBUC) +  n (A∩B∩C)

n (A) + n (B) + n (C) = 8 + 9 + 10 - 11 + 2 = 18

Resp.  D

52) Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo U = {a, b, c, d, e, f, g, h}. Sabendo que (B^cU A)^c= {f, g, h},B^c ∩A = {a,b} e A^c \ B = {d,e}, então, n(P(A∩B)) é igual a:

a) 0   b)1     c)2    d)4     e) 8

Solução:

Pelas leis de Morgan temos:

(A∩B)^c = A^c U B^c

(AUB)^c = A^c ∩B^c

Logo: (B^cU A)^c = B ∩ A^c = {f, g, h}

B^c∩A = {a, b}

A^c/ B = A^c – B = {d, e}

Portanto,

A = {a,b,c}

B = {c, f,g, h}

A∩B = {c}

n (P(A∩B)) = 2¹ = 2

Resp. C

53) Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, ambos finitos e não-vazios,  tais  que n(P(A)∪P(B)) + 1 = n(P(A∪B)).  Então,  a diferença n(A) - n(B) pode assumir:

a) Um único valor.

b) Apenas dois valores distintos 

c) Apenas três valores distintos 

d) Apenas quatro valores distintos.

e) Mais do que quatro valores distintos

Solução:

Se A e B são disjuntos, então A∩B = {  } e n(AUB) = n(A) + n(B)

Considerando n(A) = m e n(B) = n, 
temos que n(P(A)) = 2^m  e n(P(B)) = 2ⁿ
 e n(P(A∪B)) = 2^{m + n}

como  n(P(A)∪P(B)) = n(P(A)) + n(P(B)) - 1 = 2^m  + 2ⁿ - 1


Substituindo:
 n(P(A)∪P(B)) + 1 = n(P(A∪B))
2^m  + 2ⁿ - 1 +1 = 2^{m + n}

2^m  + 2ⁿ = 2^{m n}

Dividindo a equação por 2^{m n}

Temos:
1/ 2ⁿ    +  1/2^m  = 1
 Sendo m e n números naturais, m = 1 e n = 1

Resp. A

54) Dados os conjuntos numéricos A = {x ∈IR: -1  ≤ x ˂ 3} e B = {x ∈IR: 2 ˂ x ≤ 6} assinale a alternativa correta.  

a) A ∪B = {x ∈IR: -1 ˂ x˂ 6} 

b) A – B = {x ∈IR: -1 ≤ x ˂ 2} 

c) B – A = {x ∈IR: 3 ≤ x ≤ 6}  

d) A∩B = {x ∈IR: 2 ≤ x ≤ 3}

e) AUB = {x ∈IR: 2 ≤ x ≤ 3}

Solução:

Questão de intervalos numéricos.

Temos então:

AUB = {x ∈IR: -1 ≤ x ≤ 6}  

A∩B = {x ∈IR: 2 ˂  x ˂ 3}

A - B = {x ∈IR: -1 ≤ x  ≤ 2}

B - A = {x ∈IR: 3 ≤ x ≤ 6}  

Resp. C