UERJ: 1ª FASE DE MATEMÁTICA 2014 CORRIGIDA E COMENTADA

Segue a resolução comentada da 1ª fase da UERJ.

Solução: Trata-se de uma questão de Progressão Aritmética de razão r = 3, ou seja, r = 9/3.

Sendo a₅  = 37/3 ,então

a₆ = a₅ + 9/3 =  37/3 + 9/3  =  46/3

a₇ = a₆ + 9/3 = 46/3 + 9/3 = 55/3

a₈ = a₇ + 9/3 = 55/3+ 9/3 =  64/3

a₉ = a₈ +  9/3 = 64/3+ 9/3 = 73/3 

A soma dos quatro últimos termos será: S = a_7 + a_8 + a_9 + 82/3 = (55 + 64 + 73 + 82 )/ 3 = 274/ 3

A média aritmética entre quatro números é a soma desses números dividida por 4. Logo:

M = 274/3 : 4 = 274 /12 = 137 / 6

Resp. B

23) Observe a função f, definida por: f (x) = x² -  2kx + 29, para x ∈ IR

Se f (x) ≥ 4, para todo número real x, o valor mínimo da função f é 4.

Assim, o valor positivo do parâmetro k é:

(A) 5

(B) 6

(C) 10

(D) 15

Solução: Se o valor mínimo da função é 4, então:

Y_v = - ∆/ 4a = 4 .: - ∆ = 16

- ∆ = - [(- 2k)² - 4. 29] = - [ 4k² - 116] = - 4k² + 116

- 4k² + 116 = 16

- 4k² = - 100

k² = 25

k = ± 5

O valor positivo de k é 5.

Resp. A

24) Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, têm a forma de dodecaedros regulares. Se

os dodecaedros estão justapostos por uma de suas faces, que coincidem perfeitamente, formam

um poliedro côncavo, conforme ilustra a figura.

Considere o número de vértices V, de faces F e de arestas A desse poliedro côncavo.

A soma V + F + A é igual a:

(A) 102    (B) 106     (C) 110    (D) 112

Solução:

Vamos primeiramente calcular o número de vértices do icosaedro através da Relação de Euler: V + F = A + 2

Temos 12 faces, F = 12

Temos 12x 5/ 2 = 30 arestas, logo

V + F = A + 2

V + 12 = 30 + 2

V = 20

Vamos agora analisar o poliedro formado. Percebemos que uma face do poliedro azul está sobreposta à face do poliedro vermelho. então:

A = 30 + 30 - 5 = 55

V = 20 + 20 - 5 = 35

F = 12 + 12 - 2 = 22

A + V + F = 112

Resp. D

Solução:

De acordo com a propriedade fundamental do logaritmo, E = 10^15,3

Como 15,3 < 15,5, então 10^15,3 ≡ 10¹⁵

^{Resp. B}

^{A medida, em grau, do menor ângulo ACB corresponde a}

^{a) 45    b) 60   c) 75    d) 105}

^Solução:

^{Vamos considerar a figura acima redesenhada. Sendo AF = 16 m e DF= CH = 11 m, então AD = AF - DF = 5 m. Como AC é raio, então AC = 10m. Logo, o triângulo ADC é egípcio e o ângulo oposto ao menor cateto, 5 m, igual a 30º.}

^{Considerando agora o triângulo retângulo CEB, EB = 11 - 3,95 = 7,05. Chamamos o ângulo oposto ao cateto EB de x, logo sen x = 7,05/ 10 = 0,705, ou seja, x é aproximadamente 45º. Portanto o ângulo ACB = 30º + 45º = 75º}

^{Resp. C}

²⁷⁾ Um índice de inflação de 25% em um determinado período de tempo indica que, em média, os

preços aumentaram 25% nesse período. Um trabalhador que antes podia comprar uma

quantidade X de produtos, com a inflação e sem aumento salarial, só poderá comprar agora

uma quantidade Y dos mesmos produtos, sendo Y < X.

Com a inflação de 25%, a perda do poder de compra desse trabalhador é de:

(A) 20%    (B) 30%    (C) 50%     (D) 80% 

Solução: Inflação e poder de compra são grandezas inversamente proporcionais.
Inflação          Poder de compra (Inverte)
100%                      100%
125%                        x

125/100 = 100/ x
125x = 10000
x = 80
Portanto a perda será de 20%.

Resp. A (Corrigido)

Solução: O número de possibilidades de 6 entre 9 lâmpadas estarem apagadas será C_9,6.  Para as três lâmpadas acesas podemos combinar C_3,2 . Teríamos portanto C_9,6.C_3,2 possibilidades com 6 lâmpadas apagadas, duas acesas de uma cor e uma de outra. Como são duas situações possíveis, teremos 2.C_9,6.C_{3,2 =} 504
Uma vez que cada possibilidades acontece a cada segundo, serão necessários 504 s para todas as possibilidades ocorrerem.
504 s = 8 min 24 s
Resp. B

29) Em um sistema de codificação, AB representa os algarismos do dia do nascimento de uma
pessoa e CD os algarismos de seu mês de nascimento. Nesse sistema, a data trinta de julho, por
exemplo, corresponderia a:
A = 3    B = 0     C = 0    D = 7
Admita uma pessoa cuja data de nascimento obedeça à seguinte condição:
A + B + C + D = 20
O mês de nascimento dessa pessoa é:
(A) agosto
(B) setembro
(C) outubro
(D) novembro

Solução: Se A e B representam o dia, então a maior soma será 2 + 9 = 11. C e D representam o mês, logo a maior soma será 0 + 9 = 9.
Como A + B + C + D = 20, então a soma deverá ser a maior possível. Portanto o mês será 09, ou seja, setembro.
Resp. B