A MATEMÁTICA DO XADREZ

A Matemática está entre as disciplinas mais rejeitadas pelos estudantes. O educador, portanto, deve criar estratégias que motivem seus alunos e tornem o processo de aprendizagem mais aprazível. Neste sentindo, os jogos tornam-se importantes ferramentas pedagógicas que possibilitam o ensino de determinados conteúdos mais lúdico e atraente.
No aprendizado da Matemática é importante que o estudante saiba direcionar o seu raciocínio lógico; possua paciência para que possa analisar um mesmo problema das diversas maneiras possíveis; tenha uma boa concentração para não deixar que seu raciocínio se disperse facilmente, entre outras áreas que compõem as funções do raciocínio da mente humana. O jogo de xadrez possui características importantes, as quais podem desenvolver habilidades em diversos níveis no estudante, ajudando em seu rendimento escolar e no desenvolvimento social. Dentre as habilidades que podem ser desenvolvidas pelo hábito da prática do xadrez destacam-se: a concentração, atenção, paciência, análise e síntese, imaginação, criatividade, organização nos estudos, entre outras.
No último dia 12 de novembro os alunos das turmas 3001 e 3002 do Colégio Estadual George Washington desenvolveram um belíssimo trabalho sob nossa orientação acerca da importância da Matemática no jogo de xadrez e vice-versa.
Na parte teórica, eles conseguiram identificar os conteúdos que podem ser trabalhados com o jogo de xadrez, tais como:

Sugestões de Conteúdos que Podem ser Explorados no Jogo de Xadrez

§    Frações. (Por exemplo: o número de casas brancas ou pretas representam que fração do tabuleiro?);

§       Noção de simetria. (Posicionamento das peças para iniciar uma partida);

§  Equivalência. (Na captura de peças. Por exemplo: Rainha (Dama), Torre, Bispo e Cavalo correspondem a quantos peões respectivamente);

§  Razão, proporção, grandezas diretamente e inversamente proporcionais. (Na exploração do tabuleiro. Por exemplo: o que acontece com o perímetro do quadrado à medida que seu lado dobra, triplica e assim por diante; ou fixando a área de um retângulo o que ocorre com a sua base sabendo que sua altura está dobrando, triplicando e assim por diante); 

§  Potenciação. (No número de quadrados existentes no tabuleiro.)

§  Produtos notáveis. (Fazendo cálculo da área de quadrados ou retângulos explorados no tabuleiro);

§  Noção de horizontal, vertical e diagonal; (No movimento das peças. Por exemplo: Movimento da Dama, Torre e Bispo);

§  Polígonos – Área e Perímetro (triângulos, quadrados, retângulos, losangos, paralelogramos, trapézios). (Na exploração do tabuleiro);

§  Plano Cartesiano. (Na exploração do tabuleiro);

§  Funções de 1º e 2º graus. (Na exploração do tabuleiro);

§  Progressões. (Na contextualização das lendas do Xadrez);

§  Análise Combinatória. (Em questionamentos do tipo: Qual é o número possível de movimentos distintos que podem ser realizados no primeiro lance de uma partida de Xadrez? E para o segundo lance?

O projeto culminou com a apresentação de um jogo de xadrez humano, em que os alunos confeccionaram o tabuleiro com cartolina e realizaram um duelo entre turmas.

PLANO CARTESIANO E PAR ORDENADO : "BATALHA NAVAL"

CONTEÚDO TEÓRICO

A atividade proposta tem por objetivo exercitar e fixar os conceitos de Plano Cartesiano e Par Ordenado, tendo em vista a importância dos mesmos para o aprendizado de outros conteúdos como funções, geometria analítica, vetores, etc.
O Plano Cartesiano é formado por um sistema de dois eixos perpendiculares (formam 90º). Esses eixos são retas numéricas que se cruzam (interseção) na origem do sistema (ponto (0,0)).  O eixo horizontal (OX) é chamado eixo das ABSCISSAS e o eixo vertical (OY) é chamado eixo das ORDENADAS.
Um ponto pertencente ao Plano Cartesiano é representado por um PAR ORDENADO (x, y) , sempre nessa ordem, onde x será sua localização na reta OX e y a localização na reta OY.

OBS: Observe que, quando uma das coordenadas é nula (zero) o ponto estará sobre a outra reta (eixo perpendicular) .

ATIVIDADE

• Vamos dividir a turma em duplas.
• Cada dupla receberá uma folha de papel quadriculado e construirá dois Planos Cartesianos. Um plano será para localizar suas embarcações, o outro para controlar suas ações em relação ao oponente.

Objetivos

• Aprender a marcar pontos (pares ordenados) no Plano Cartesiano. Apresentar o plano cartesiano como recurso para organizar e representar informação, conhecendo as principais características do sistema de coordenadas cartesianas e localizando pontos e figuras geométricas no plano cartesiano.  

Organização do jogo

1. Cada jogador distribui suas embarcações pelo tabuleiro, marcando os quadrados em que estarão ancoradas as suas embarcações da seguinte forma: um porta-aviões (cinco quadrados);  dois encouraçados (quatro quadrados cada um); três cruzadores (três quadrados cada um); quatro submarinos (dois quadrados cada um).

2. As embarcações devem ocupar os quadrados na extensão de uma linha ou de uma coluna. Por exemplo, um porta-aviões deve ocupar cinco quadrados em uma linha ou em uma coluna.
3. Não é permitido que duas (2) embarcações se toquem ou se sobreponham.
4. Deve ser distribuída pelo menos uma embarcação em cada quadrante.
5. A função do juiz é observar se os jogadores estão marcando corretamente os pontos nos dois tabuleiros (no tabuleiro do seu jogo e no tabuleiro de controle dos tiros dados no tabuleiro do adversário).

Regras do jogo

• Cada jogador não deve revelar ao seu oponente a localização de suas embarcações.
• Os jogadores decidem quem começa a atirar.
• Cada jogador, na sua vez de jogar, tentará atingir uma embarcação do seu oponente. Para isso, indicará ao seu oponente um ponto (tiro) no plano cartesiano dando as coordenadas x e y desse ponto. Lembrando que as coordenadas x, y são pares ordenados (x, y) em que o primeiro número deve ser lido no eixo x e o segundo no eixo y.
• O oponente marca o ponto correspondente no seu tabuleiro e avisa se o jogador acertou uma embarcação, ou se acertou a água. Caso tenha acertado uma embarcação, o oponente deverá informar qual delas foi atingida. Caso ela tenha sido afundada, isso também deverá ser informado. Uma embarcação é afundada quando todos os quadrados que formam essa embarcação forem atingidos.
• Para que um jogador tenha o controle dos pontos que indicou ao seu oponente, deverá marcar cada um dos pontos indicados no plano correspondente ao do oponente no seu tabuleiro.
• Para acertar uma embarcação, basta acertar um dos vértices de um dos quadrados em que a embarcação está ancorada.
• Para afundar uma embarcação, é preciso acertar pelo menos um dos vértices de cada um dos quadrados em que a embarcação está ancorada.
• Se o jogador acertar um alvo, tem direito a nova jogada e assim sucessivamente até acertar a água ou até que tenha afundado todas as embarcações.
• Se o jogador acertar a água, passa a vez para o seu oponente. Também passará a vez para o seu oponente ou perderá uma jogada o jogador que marcar um ponto de forma incorreta, em qualquer um dos tabuleiros. Esse erro deve ser deve ser indicado pelo juíz.
• O jogo termina quando um dos jogadores afundar todas as embarcações do seu oponente.

INTERNET: VILÃ OU ALIADA DO PROCESSO DE APRENDIZAGEM?

É sempre muito bom voltar ao nosso lar! Foi com muita honra e satisfação que voltei ontem à FEUC, a Casa do Professor, para ministrar a palestra "Internet: vilã ou aliada do processo educacional?" e participar da XXII OCTOBERMÁTICA. Muito bom rever os grandes Mestres da Matemática Alzir Fourny, Lucio Sebastião e Dr. Gabriela Barbosa que tiveram grande participação na minha formação de professor e estiveram prestigiando meu trabalho. Agradeço aos futuros colegas de trabalho pela atenção  e pelo interesse. Agradeço,especialmente, ao amigo Alexandre Ferreira pelo convite.

Da esquerda para a direita: Drª Gabriela Barbosa, Alexandre Ferreira, eu, MSc Alzir Fourny e MSc Lucio Sebastião

ÚLTIMO CONCURSO CORREIOS (2011) - PROVA PARA CARTEIRO CORRIGIDA

Para obter sucesso em concurso é preciso disciplina, tenacidade e organização. Fazer provas de concursos anteriores e questões similares, elaboradas pela mesma banca, deve estar na rotina de estudos do candidato.
Portanto, mãos à obra!
Segue o link para download da prova de carteiro http://www.4shared.com/office/jB-8OV2Ice/CONCURSO_CORREIOS_2011_CARTEIR.html? e a seguir a correção comentada das questões de matemática.

QUESTÃO 21: PORCENTAGEM

De acordo com o texto 21% das cartas foram adotadas, portanto 79% não foram adotadas ( 21 + 79 = 100%).
Logo, 79% de 1981000 = 79 x 1981000 / 100 = 1564990 cartas
Esse número é maior que 1500000 = 1,5 milhões
Resp. D

QUESTÃO 22: PROPORÇÃO

                        Vol. Total                   Vol. Internos

2009           3818 + 669 = 4487                3818
2010                      22435                           x


4487 . x = 3818 . 22435
x = 19090

Esse número é superior a 19.050 e inferior a 19.100.
Resp. A

QUESTÃO 23: ÁREA

Temos dois retângulos cujas bases são A = base x altura

At = 40 x 30 = 1200 mm²
Au = 35 x 25 = 875 mm²

1200 = 100%
875 = x%

x = 875 x 100/ 1200
x = 72,91%

Resp. B

QUESTÃO 24: VOLUME

O volume de um paralelepípedo (prisma reto retângulo) é calculado pelo produto: V = comprimento x largura x altura
Logo, V = 360 x 270 x 180 = 17496000 mm³ = 17496 cm³ = 17,496 dm³
( perceba que para transformarmos para uma unidade de medida de volume imediatamento superior dividimos por 1000)

Resp. E

QUESTÃO 25: PROPORÇÃO

10 dias = 210630 selos
30 dias =   x selos

x = 30 x 210630 / 10 = 631890 selos

Ou ...
30 é o triplo de 10, então a quantidade de selos em 30 dias também deve ser o triplo.
3 x 210630 = 631890

Resp. E

QUESTÃO 26: FRAÇÕES/ PROPORÇÃO

Redução = 13,4 - 8,8 = 4,6 mm

Fração = 4,6 / 13,4 = 46 / 134 = 0,34

Como 1/3 = 0,33 e 1/2 = 0,5
1/3<0,34< 1/2

Resp . B

QUESTÃO 27: PROPORÇÃO

$ 1,00 = R$ 1,64
$ 352 = 352 X 1,64 = R$577,28

Resp. A

QUESTÃO 28: MDC (MÁXIMO DIVISOR COMUM)

A sala tem 4,16 m = 416 cm de comprimento e 3,52 m = 352 cm de largura. Serão colocados ladrilhos quadrados de x cm de lado. Então, se não há sobras de espaço, o comprimento deve ser divisível (múltiplo) x e a largura também. Concluímos que x é divisor de 416 e de 352.
Para que o ladrilho tenha o maior tamanho possível, x deve ser o maior divisor comum (MDC) entre 416 e 352.

MDC (416, 352) = 32

Resp A

QUESTÃO 29: ÁREA E PROPORÇÃO

Área = 4,16 x 3,52 = 14, 64 m²

1 m² ----------2 kg
14,64 m² -------- 2 x 14,64 = 29,28 kg

3 kg ------------ 1 saco
29,28 kg ---------29,28 ; 3 = 9,76

Serão necessários 10 sacos.

Resp. B

QUESTÃO 30: ANULADA

QUESTÃO 31: VOLUME E ÁREA

Os livros serão colocados deitados sobrepostos até a altura de 9cm. Como cada livro tem 1,2 cm de espessura, caberão 9/ 1,2 = 7,5 livros
Ou seja, 7 livros com a caixa fechada.

Resp. D


QUESTÃO 32: PROPORÇÃO E VOLUME

Tipo 2 = 27 . 18. 9 = 4374 cm³ -------------- 4,50
Tipo 4 = 36 . 27 . 18 = 17496 cm³ ------------ x

x = 17496 . 4,5 ; 4374 = 18,00

Resp. B

QUESTÃO 33: MMC (MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM)

Como as caixas ficam sempre na mesma posição e os terrenos tem 12 m de frente, então esse distância será múltipla de 12. Se os postes estão a 50 m um do outro, esse número também será múltiplo de 50. A primeira coincidência , será múltipla de ambos, ou seja,o MMC.

MMC ( 12 e 50) = 300

Resp. C

QUESTÃO 34: FRAÇÕES

A fração que coube a Marcos será 7/10 de 3/5  = 21 / 50

Resp. C

QUESTÃO 35: PORCENTAGEM

Aumento = 52 - 40 = 12

4 = 10% de 40
12 = 30% de 40

Resp. E

QUESTÃO 36: PORCENTAGEM

Esta é uma questão conceitual. O maior aumento relativo é aquele que foi maior em percentual. Logo o aumento relativo da carta não comercial foi o maior.

Resp. E

QUESTÃO 37: PORCENTAGEM

6,52% de aumento em 3 meses = 6,52 : 3 = 2,17% ao mês

Resp. B

QUESTÃO 38: EXPRESSÕES NUMÉRICAS E OPERAÇÕES

Custo com envio das mercadorias de 3kg
[ 35,10 + 13,20 x 3] x 2

Custo com envio das mercadorias de 2 kg
[ 35,10 + 13,20 x 2] x 4

Total --- [ 35,10 + 13,20 x 3] x 2 + [ 35,10 + 13,20 x 2] x 4

Resp. A

QUESTÃO 39: SISTEMA DO 1º GRAU

Chamando de X o valor fixo e Y  constante de proporcionalidade, temos;

X +  Y = 26,80
X + 2Y = 31,40

Y = 4,60
X = 22,20

Resp. E

QUESTÃO 40: REGRA DE TRÊS INVERSA

Força de trabalho e tempo de produção são grandezas inversamente proporcionai.


12 carteiros ------------------ 21 min
14 carteiros ------------------    x

14/ 12 = 21/ x

14 x = 12 .21

x = 18 min

Resp. B

CTUR: CONCURSO 2015/2016

Está aberto o período de inscrições para o Colégio Técnico da Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (CTUR). As inscrições serão realizadas exclusivamente pela internet, no endereço eletrônico: www.ctur.ufrrj.br entre os dias 01/09 e 02/10. No mesmo endereço o candidato poderá ter acesso ao edital do concurso. Os candidatos deverão possuir CPF próprio para inscrição e documento de identidade oficial com foto para a realização da prova.

Brasil!

FAETEC: PROVA 2015 CORRIGIDA E COMENTADA

Olá pessoal!
Segue a última prova para o FAETEC (2015) de Matemática corrigida e comentada para estudo. A prova pode ser baixada no site: https://secure.domcintra.org.br/Faetec_2015.1/Provas_e_gabaritos/CONCOMITANTE.pdf .

25) Reta numérica
Os pontos A, B, C e D dividem o segmento de (9,5 - 2,0) = 7,5 em cinco segmentos iguais a 1,5 cada. Logo temos que:
A = 2 + 1,5 = 3,5
B = 3,5 + 1,5 = 5
C = 5 + 1,5 = 6,5
D = 6,5 + 1,5 = 8

Portanto, representam números inteiros os pontos B e D.

Resp. C

26) Operações com decimais

1º mês = 1000 x  R$ 2,33017 =  R$ 2330,17
2º mês = 1000 x  R$ 2,50579 =  R$ 2505,79

Diferença = R$ 2505,79 -  R$ 2330,17 = R$ 175,62

Resp. D

27) Área / Decimais

Largura = 2,5 m = 25 dm
Comprimento = 4,8 m = 48 dm

Área = L x C = 25 x 48 = 1200 dm²

Resp. C

28) Sequência Numérica

28  31   36   43   52   x   76   91   y

Percebemos que a diferença entre o sucessor e o anterior aumenta de dois em dois, a partir de 3.
31 - 28 = 3
36 - 31 = 5
43 - 36 = 7
52 - 43 = 9, logo
x - 52 = 11, ...., x = 52 + 11 = 63
76 - 63 = 13
91 - 76 = 15
y - 91 = 17, ...., y = 91 + 17 = 108
Portanto , y - x =  108 - 63 = 45

Resp. A

29) Operações com potências

aⁿ + aⁿ⁺³ = aⁿ (1+a³ ), logo

3³ + 3⁶ = 3³ + 3³⁺³ = 3³ ( 1 + 3³) = 27 ( 1 + 27) = 27 x 28

Resp. B

30) Razão / Porcentagem

A / B = 1 / 4 = x / 4x

A + B = 5x

5x = 100%

x = 100: 5= 20%

Resp. D

31) Frações

J + M = 1/3

J = 1/5

1/5 + M = 1/3

M = 1/3 - 1/5 = 5 /15 - 3/15 = 2/ 15

Resp. E

32) Volume

Volume A = Comprimento x Largura x Altura = CLA

Volume B = 2 C x 3L x 2A = 12 CLA

k = 12

Resp. B

33) Comparação entre decimais

A = 12%  = 12/ 100 = 0,12

B = 0,105 

C = 0,11 

D = 0,1222... 

E = (0,2)² = 0,2 x 0,2 = 0,04

Logo, D > A > C > B > E

Resp. A

34) Polígonos

Perímetro = soma de todos os lados

Perímetro = n . L,

Como L= n - 1, temos:

Perímetro = n . ( n-1)

Logo, 30 = n. (n-1)

           n² - n = 30

           n² - n - 30 = 0

n = 6 ou n = -5

Como n é número natural, n = 6 (hexágono)

Resp. C

35) Triângulo Retângulo

Trata-se de um triângulo pitagórico 3, 4 e 5.

150 = 3. 50

200 = 4. 50, logo

x = 5. 50 = 250.

Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos

x² = 150 ² + 200²  = 22500 + 40000 = 62500

x = 250

Resp. E

36) Porcentagem

2 anos e 9 meses = 24 + 9 = 33 meses

33 = 25% 

x = 100%

x = 4 . 33 = 132 meses = 11 anos

Resp. B

37) Polígonos

Apenas possuirão diagonais passando pelo centro, polígonos de índice par, pois D_pc= n/2

Logo, hexágono (n=6) e octógono (n=8)

Resp. A

38) Operações fundamentais

54 - 17 + 33 - 41 + 28 = 57

Resp. E

39) Divisão de decimais

13, 75 : 1, 25 = 1375 : 125 = 11 pacotes

Resp. A

40) 1º momento = 48000: 6 = 8000

      2º momento = 48000 : 5 = 9600

Diferença = R$ 9600 - R$ 8000 = R$ 1600

Resp. E

41) Valor numérico / condição de existência de triângulos

42) Teoria de cevianas de um triângulo

Sendo P ponto médio do lado BC, oposto ao vértice A, então AP será mediana. Como AP também é perpendicular ao lado BC, também será altura. Logo triângulo é isósceles, pois em um triângulo isósceles a mediana relativa à base é também altura e bissetriz.

Imagem retirada do site: http://slideplayer.com.br/slide/334104/
Trabalho do Professor Jorge

Resp. B

43) Polígonos

Um hexágono regular de lado L, pode ser dividido em seis triângulos equiláteros iguais de lado também igual a L a partir de suas diagonais que passam pelo centro do polígono. Se a área de cada triângulo vale A, então a área do hexágono será 6A.

Resp. C

44) Sistemas do 1º grau

No dia 10/8 Maria gastou 2x + 3y = 24. No dia 15/9 ela gastou 3x + 4y = 34. Portanto ...

Resp. B

45) Ângulos e equações do 1º grau

 B = A + 10°, C = A + 20°, D = A – 10° e E = A + 30°.

A + B + C + D + E = 400º

A + A +10º + A + 20º + A - 10º + A + 30º = 400º

5A = 400º - 50º 

5A = 350º

A = 70º

C = 20º + A = 20º + 70º = 90º

Resp. D

46) Análise de gráficos

Analisando o gráfico, percebe-se que o clube B teve mais títulos que o clube A, logo ambos teria que ter 9 + 10 títulos. Ou seja 19 títulos.

Resp. D

47) Quadrado e circunferência

O raio da circunferência é igual à diagonal do quadrado. Sendo o lado do quadrado igual a √2, sua diagonal será : d = r = √2 x √2 = 2

O diâmetro da circunferência é o dobro do raio. Portanto D = 2r = 4

Resp. E

48) Analise de tabela

Devemos ter cuidado com a pergunta. Questão pede o maior salário e não o maior saldo após o salário. Logo o maior foi o da Eliane.

Resp. C

PORTAL MultiRio: NOSSO TRABALHO EM DESTAQUE

Olá pessoal,
Nosso blog, mais uma vez ganhou destaque e fomos mencionados na interessante matéria da jornalista Fernanda Fernandes do Portal MultiRio. Vale a pena conferir!
Segue o link:  http://www.multirio.rj.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=1631&Itemid=344 

PROJETO PRÉ TÉCNICO

Olá alunos da E. M. Paulo Vanzolini,
A partir da próxima semana iniciaremos nossa Turma Especial Interativa com os alunos selecionados em cada turma, segundo rendimento nos testes e provas bimestrais. Essa turma visa a preparação dos alunos do 8º ano para os concursos para as Escolas Técnicas no ano de 2016. Os alunos do 9º ano também estão convidados e deverão entrar em contato por aqui ou facebook para adesão. Faremos listas de exercícios semanais sobre os conteúdos dados na semana e direcionados para as provas dos concursos. Haverá um encontro quinzenal para correção das listas e solução das dúvidas. A permanência do aluno no grupo estará condicionada à manutenção de sua média entre as cinco maiores da classe, portanto o grupo poderá ser transitório. As listas serão disponibilizadas aqui no blog e no facebook através de postagens direcionadas ao grupo.
Brasil!

UERJ: 1ª FASE DE MATEMÁTICA 2014 CORRIGIDA E COMENTADA

Segue a resolução comentada da 1ª fase da UERJ.

Solução: Trata-se de uma questão de Progressão Aritmética de razão r = 3, ou seja, r = 9/3.

Sendo a₅  = 37/3 ,então

a₆ = a₅ + 9/3 =  37/3 + 9/3  =  46/3

a₇ = a₆ + 9/3 = 46/3 + 9/3 = 55/3

a₈ = a₇ + 9/3 = 55/3+ 9/3 =  64/3

a₉ = a₈ +  9/3 = 64/3+ 9/3 = 73/3 

A soma dos quatro últimos termos será: S = a_7 + a_8 + a_9 + 82/3 = (55 + 64 + 73 + 82 )/ 3 = 274/ 3

A média aritmética entre quatro números é a soma desses números dividida por 4. Logo:

M = 274/3 : 4 = 274 /12 = 137 / 6

Resp. B

23) Observe a função f, definida por: f (x) = x² -  2kx + 29, para x ∈ IR

Se f (x) ≥ 4, para todo número real x, o valor mínimo da função f é 4.

Assim, o valor positivo do parâmetro k é:

(A) 5

(B) 6

(C) 10

(D) 15

Solução: Se o valor mínimo da função é 4, então:

Y_v = - ∆/ 4a = 4 .: - ∆ = 16

- ∆ = - [(- 2k)² - 4. 29] = - [ 4k² - 116] = - 4k² + 116

- 4k² + 116 = 16

- 4k² = - 100

k² = 25

k = ± 5

O valor positivo de k é 5.

Resp. A

24) Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, têm a forma de dodecaedros regulares. Se

os dodecaedros estão justapostos por uma de suas faces, que coincidem perfeitamente, formam

um poliedro côncavo, conforme ilustra a figura.

Considere o número de vértices V, de faces F e de arestas A desse poliedro côncavo.

A soma V + F + A é igual a:

(A) 102    (B) 106     (C) 110    (D) 112

Solução:

Vamos primeiramente calcular o número de vértices do icosaedro através da Relação de Euler: V + F = A + 2

Temos 12 faces, F = 12

Temos 12x 5/ 2 = 30 arestas, logo

V + F = A + 2

V + 12 = 30 + 2

V = 20

Vamos agora analisar o poliedro formado. Percebemos que uma face do poliedro azul está sobreposta à face do poliedro vermelho. então:

A = 30 + 30 - 5 = 55

V = 20 + 20 - 5 = 35

F = 12 + 12 - 2 = 22

A + V + F = 112

Resp. D

Solução:

De acordo com a propriedade fundamental do logaritmo, E = 10^15,3

Como 15,3 < 15,5, então 10^15,3 ≡ 10¹⁵

^{Resp. B}

^{A medida, em grau, do menor ângulo ACB corresponde a}

^{a) 45    b) 60   c) 75    d) 105}

^Solução:

^{Vamos considerar a figura acima redesenhada. Sendo AF = 16 m e DF= CH = 11 m, então AD = AF - DF = 5 m. Como AC é raio, então AC = 10m. Logo, o triângulo ADC é egípcio e o ângulo oposto ao menor cateto, 5 m, igual a 30º.}

^{Considerando agora o triângulo retângulo CEB, EB = 11 - 3,95 = 7,05. Chamamos o ângulo oposto ao cateto EB de x, logo sen x = 7,05/ 10 = 0,705, ou seja, x é aproximadamente 45º. Portanto o ângulo ACB = 30º + 45º = 75º}

^{Resp. C}

²⁷⁾ Um índice de inflação de 25% em um determinado período de tempo indica que, em média, os

preços aumentaram 25% nesse período. Um trabalhador que antes podia comprar uma

quantidade X de produtos, com a inflação e sem aumento salarial, só poderá comprar agora

uma quantidade Y dos mesmos produtos, sendo Y < X.

Com a inflação de 25%, a perda do poder de compra desse trabalhador é de:

(A) 20%    (B) 30%    (C) 50%     (D) 80% 

Solução: Inflação e poder de compra são grandezas inversamente proporcionais.
Inflação          Poder de compra (Inverte)
100%                      100%
125%                        x

125/100 = 100/ x
125x = 10000
x = 80
Portanto a perda será de 20%.

Resp. A (Corrigido)

Solução: O número de possibilidades de 6 entre 9 lâmpadas estarem apagadas será C_9,6.  Para as três lâmpadas acesas podemos combinar C_3,2 . Teríamos portanto C_9,6.C_3,2 possibilidades com 6 lâmpadas apagadas, duas acesas de uma cor e uma de outra. Como são duas situações possíveis, teremos 2.C_9,6.C_{3,2 =} 504
Uma vez que cada possibilidades acontece a cada segundo, serão necessários 504 s para todas as possibilidades ocorrerem.
504 s = 8 min 24 s
Resp. B

29) Em um sistema de codificação, AB representa os algarismos do dia do nascimento de uma
pessoa e CD os algarismos de seu mês de nascimento. Nesse sistema, a data trinta de julho, por
exemplo, corresponderia a:
A = 3    B = 0     C = 0    D = 7
Admita uma pessoa cuja data de nascimento obedeça à seguinte condição:
A + B + C + D = 20
O mês de nascimento dessa pessoa é:
(A) agosto
(B) setembro
(C) outubro
(D) novembro

Solução: Se A e B representam o dia, então a maior soma será 2 + 9 = 11. C e D representam o mês, logo a maior soma será 0 + 9 = 9.
Como A + B + C + D = 20, então a soma deverá ser a maior possível. Portanto o mês será 09, ou seja, setembro.
Resp. B

ORIGAMI E MATEMÁTICA: A LENDA DO PÁSSARO TSURU

O origami é uma arte japonesa de dobradura com papel conhecida no mundo todo.  Um origami muito conhecido é o tsuru Grou – Cegonha, ave sagrada e popular do Japão, que  simboliza saúde, fortuna, boa sorte e felicidade. Costuma-se dizer que esta ave é o símbolo da longevidade.

Segundo a lenda do Tsuru na cultura japonesa, a pessoa que fizer mil dobraduras desse pássaro, fixando o pensamento em um pedido, terá seu desejo realizado. Quando oferecido como presente, significa votos de saúde e prosperidade.

Tsuru e o Dia da Paz

Em 1945, depois da explosão da bomba de Hiroshima, surgiram várias doenças no Japão, entre os sobreviventes da guerra. A pequena Sadako, com 12 anos de idade, foi diagnosticada com Leucemia.

Em tratamento no hospital recebeu de um amigo, vários papéis coloridos para que ela fizesse 1000 origamis do tsuru, junto com o pedido de cura. Como a doença se agravava a cada dia, Sadako começou a pedir pela paz mundial.  Mas, no dia 25 de outubro de 1955, ao completar 964 tsurus, ela faleceu.

Os amigos completaram os 1000 tsurus e iniciaram uma campanha para arrecadar dinheiro para construir um monumento pela paz. Em 1958 o monumento foi inaugurado, no Parque da Paz de Hiroshima. Todos os anos, no dia 6 de agosto, dia do bombardeio, se faz uma cerimônia no parque, pela paz e para lembrar as vítimas de Hiroshima.

CONTEÚDOS MATEMÁTICOS TRABALHADOS NA CONSTRUÇÃO

 Mais detalhes da construção no vídeo: 

ATIVIDADES:

1) Após os dois primeiros passos temos um quadrado dividido em quatro partes iguais por suas diagonais. Confirme o número de diagonais através da fórmula D= n.(n-3)/ 2

2) Quais as quatro figuras formadas pelas diagonais? Classifique em triângulos equiláteros, triângulos isósceles ou triângulos escalenos.
3) Quais as medidas de seus ângulos?
4) Qual a fração que cada figura representa do inteiro?
5) Quais os ângulos formados pelas diagonais do quadrado?
6) Após os 3º e 4º passos, nos quais unimos os pontos médios (metade) dos lados do quadrado, o quadrado ficou dividido em quantas partes?
7) Qual a fração que representa cada uma dessas partes?

ENEM 2015

Já estão abertas as inscrições para o Enem 2015. O prazo para realizar a inscrição vai até o dia 5 de junho que pode ser feita no site http://enem.inep.gov.br/. Alunos que estão concluindo os estudos em escolas públicas são automaticamente isentos da taxa de R$ 63,00. Pessoas de baixa renda têm o direito de declarar carência no Enem 2015, pedindo isenção da taxa de inscrição. As provas deste ano serão aplicadas nos dias 24 e 25 de outubro.

Bons estudos e sucesso!

POLÍGONOS REGULARES E UM POUCO DE ARTE

POLÍGONOS REGULARES

Polígonos são figuras geométricas formadas por uma linha poligonal fechada. Seus elementos são ângulos (internos e externos) , vértices, diagonais e lados. Seu nome é dado de acordo com o número de lados.Se os ângulos do polígono forem menores que 180º, ele será convexo.

O polígono é regular quando todos os lados tem mesma medida e todos os ângulos internos são congruentes. A seguir os polígonos mais importantes:

3: Triângulo
4: Quadrilátero
5: Pentágono
6: Hexágono
7: Heptágono
8: Octógono
9: Eneágono
10: Decágono
11: Undecágono
12: Dodecágono

15: Pentadecágono

20: Icoságono

DIAGONAIS DE UM POLÍGONO

Diagonais são segmentos de reta que ligam um vértice a outro não consecutivo passando pelo interior do polígono. 

O número de diagonais de um polígono depende do número de lados (n) e pode ser calculado pela expressão:

D = n . (n - 3) / 2

As diagonais de um polígono poderão passar pelo centro geométrico deste. O número de diagonais que passam pelo centro é dado por:

Dpc = n / 2

Logo, apenas os polígonos de índices (número de lados) pares possuirão diagonais passando pelo seu centro.

Ângulos de um polígono

A soma dos ângulos internos de qualquer polígono depende do número de lados (n), sendo usada a seguinte expressão para o cálculo:

 S = 180º.(n – 2), onde n o número de lados.

No caso dos polígonos regulares, todos os n ângulos internos serão iguais. Portanto, para calcular sua medida, basta dividirmos a soma dos ângulos internos por n. Temos então:

Ai = 180º .(n-2) / n

A soma dos ângulos externos de qualquer polígono sempre será 360º, baseando-se no seguinte princípio: quanto maior o número de lados do polígono mais ele se assemelha a uma circunferência (possui giro completo igual a 360º). Por analogia, todos os ângulos externos são iguais num polígono regular e sua medida pode ser calculada por:

Ae = 360º / n

Observe que o cálculo do ângulo externo é muito mais simples que o cálculo do ângulo interno. Como esses ângulos são suplementares (somam 180º) em muitos casos é mais vantajoso calcular o ângulo externo e depois o interno ( seu suplemento). 

Ai + Ae = 180º

Exercícios

1) Calcular o número de diagonais dos polígonos regulares da lista acima.

2) O número de diagonais de um hexágono, é: 

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

3)  O polígono que tem o número de lados igual ao número de diagonais é o: 

a) hexágono b) pentágono c) triângulo d) heptágono e) não existe

4)A soma dos ângulos internos de um pentágono regular é: 

 a) 1080º b) 540º c) 360º d) 180º e) 720º

5)  Qual a medida do ângulo interno de um decágono regular? 

a) 230° b) 130° c) 144° d) 28° e) 150°

6) O ângulo interno de um polígono de 170 diagonais é: 

a) 80° b) 170° c) 162° d) 135° e) 81°

7) Qual o polígono regular cujo ângulo interno é o triplo do externo? 

a) Dodecágono b) Pentágono c) Octógono d) Heptágono e) Hexágono

8)  O polígono convexo cuja soma dos ângulos internos mede 1.440° tem exatamente: 

a) 15 diagonais b) 20 diagonais c) 25 diagonais d) 30 diagonais e) 35 diagonais

9) Qual é o polígono regular em que o número de diagonais é igual ao dobro do número de lados?

a) Dodecágono b) Pentágono c) Octógono d) Heptágono e) Hexágono

10) Quantas diagonais em o heptágono regular da moeda de R$ 0,25 ?

a) 5   b) 7  c) 14   d) 21   e) 70

11) Os ângulos externos de um polígono regular medem 20°. Então o número de diagonais desse polígono é: 

a) 90 b) 104 c) 119 d) 135 e) 152

Gabarito

2) A

3) B

4) B

5) C

6) C
7) C
8) E
9) D
10) C
11) D

UM TOQUE DE ARTE!

Podemos identificar a presença dos polígonos também na arte. O cubismo, movimento artístico que surgiu no século XX, nas artes plásticas, tendo como principais fundadores Pablo Picasso e Georges Braque,  tratava as formas da natureza por meio de figuras geométricas, representando as partes de um objeto no mesmo plano.

Pintura cubista de Pablo Picasso

Pintura cubista de  Georges Braque

CORES PRIMÁRIAS, SECUNDÁRIAS E TERCIÁRIAS

A cor é uma sensação visual que só existe quando há luz. Três cores são base para as demais cores. São as cores puras, chamadas cores primárias. Essas cores são primitivas e não são formadas a partir de misturas de outras cores.

As cores primárias são: vermelho, amarelo e azul.

Quando misturamos duas cores primárias temos uma cor secundária. São elas: roxa, laranja e verde.

Cores terciárias resultam da mistura de uma cor primária com uma secundária. Essas cores recebem o nome das cores que lhe deram origem.

 Atividade de aula em grupo!

 São dados os polígonos regulares hexágono, heptágono, octógono, eneágono, decágono, dodecágono, pentadecágono e icoságono.

a) Trace as diagonais que passam pelo centro dos polígonos distribuídos e  confira com o cálculo.

b) Trace todas as diagonais dos polígonos dados e confira com o cálculo.

c) Conte o número de diagonais que não passam pelo centro de cada polígono dado e confira com  cálculo D - Dpc .

d) Com a ajuda de um transferidor, calcule a medida do ângulo interno de cada polígono dado e confira com o cálculo adequado.

e) Usando a relação Ai + Ae = 180º , calcule a medida do ângulo externo.

Use sua criatividade!

f) Usando apenas as cores primárias, vamos colorir os polígonos de índice par, exceto o icoságono.

g) Usando apenas as cores secundárias, vamos colorir os polígonos de índice ímpar.

h) Para colorir o icoságono, use todas as cores.